专题一 集合,常用逻辑用语,不等式,函数与导数(讲案)第二讲
导数及其应用
【最新考纲透析】预计时间:3.19---3.20
导数是高中数学知识的一个重要的交汇点,命题范围非常广泛,为高考考查函数提供了广阔天地,处于一种特殊的地位,不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质,把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时,进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明,是函数知识和不等式知识的一个结合体,它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法,不但突出了能力的考查,同时也注意了高考重点与热点,这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。 【考点精析】
考点五 导数与其它章节拓展交汇、应用题 例5 (1)已知函数f(x)?lnx?1?x,其中a为大于零的常数。 ax(1)若函数f(x)在?1,???上单调递增,求a的取值范围, (2)求函数f(x)在区间?1,2?上的最小值, (3)求证:对于任意的n?N?且n>1,都有lnn?变式训练
已知函数f(x)?11??231?成立。 nalnxb?,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?1xx?2y?3?0.
(I)求a,b的值;
(II)如果当x>0,且x?1时,f(x)?lnxk?,求k的取值范围. x?1x(2)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y?a?10(x?6)2,其中3 (II)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。 我的收获: 变式训练 (文科)已知函数f(x)?(x?k)e. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 2xkx(理科)已知函数f(x)?(x?k)e。 (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对于任意的x?(0,??),都有f(x)≤ 1,求k的取值范围。 e(仅理科) 变式训练 (1)由曲线y? A. x,直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为 1016 B.4 C. D.6 339?x2dx? (2) ?3?3?((Ⅰ)f'(x)?x?1?lnx)bx? (x?1)2x2 ?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?,且过点(1,1),故?1即 f'(1)??,2??2?b?1,??a1 ?b??,??22 解得a?1,b?1。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)?lnx1?,所以 x?1x lnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。 2x?1x1?xx(k?1)(x2?1)考虑函数h(x)?2lnx?(x?0),则 x (k?1)(x2?1)?2xh'(x)?。 x2k(x2?1)?(x?1)2(i)设k?0,由h'(x)?知,当x?1时,h'(x)?0。而h(1)?0,2x 故 1h(x)?0; 21?x1当x?(1,+?)时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1?x2lnxklnxk从而当x>0,且x?1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+. x?1xx?1x12 '(ii)设0 1?k11 h(1)=0,故当x?(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。 21?k1?x 当x?(0,1)时,h(x)?0,可得 (iii)设k?1.此时h(x)>0,而h(1)=0,故当x?(1,+?)时,h(x)>0,可得 '1 h(x)<0,与题设矛盾。 21?x综合得,k的取值范围为(-?,0]