高等数学知识点总结
空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点
①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角; ②数量积(是个数)、向量积(是个向量);(填空选择题中考察) ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面;(重积分求体积时画图需要)
④平面的几种方程的表示方法(点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程),两平面的夹角;(一般必考) ⑤空间直线的几种表示方法(参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程), 两直线的夹角、直线与平面的夹角;(一般必考)
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影:PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角:cos??i???c?a?b?axbxjaybyaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222k??????az,c?a?bsin?.例:线速度:v?w?r.bzaybycyaz???bz?a?b?ccos?,?为锐角时, czax??????向量的混合积:[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。 1
?1、点法式:A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0,其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程:Ax?By?Cz?D?0xyz3、截距世方程:???1abc平面外任意一点到该平面的距离:d?Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2平面的方程:?x?x0?mtx?xy?y0z?z0??空间直线的方程:0???t,其中s?{m,n,p};参数方程:?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?二次曲面:x2y2z21、椭球面:2?2?2?1abcx2y22、抛物面:??z(,p,q同号)2p2q3、双曲面:x2y2z2单叶双曲面:2?2?2?1abcx2y2z2双叶双曲面:2?2?2?(马鞍面)1abc多元函数微分法及应用
全微分:dz??z?z?u?u?udx?dy du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算:?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法:dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)] ???? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)] ? ????x?u?x?v?x当u?u(x,y),v?v(x,y)时,?u?u?v?vdu?dx?dy dv?dx?dy ?x?y?x?y隐函数的求导公式:FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)?0, ??, 2?(?x)+(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyF?z?z隐函数F(x,y,z)?0, ??x, ???xFz?yFz
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?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组: J????GG(x,y,u,v)?0?(u,v)??u?u1?(F,G)?v1?(F,G)??? ????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)??? ????yJ?(y,v)?yJ?(u,y)微分法在几何上的应用:
?F?v?Fu?GGu?vFvGv
?x??(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:0?????(t)?(t)??(t0)00?z??(t)?在点M处的法平面方程:??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为:,则切向量T?{,,?GGGxGx?yzGz?G(x,y,z)?0曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0),则:?1、过此点的法向量:n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程:??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度:
FyGy}2、过此点的切平面方程:Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。?f??f?i?j?x?y???f??它与方向导数的关系是:?gradf(x,y)?e,其中e?cos??i?sin??j,为l方向上的?l单位向量。?f?是gradf(x,y)在l上的投影。?l函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y)?多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0,令:fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2??AC?B?0时,?A?0,(x0,y0)为极小值??2则:值?AC?B?0时, 无极?AC?B2?0时, 不确定???
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