专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程

第2讲 基本初等函数、函数与方程

[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现． 考点一 基本初等函数的图象与性质 核心提炼

1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同． 1

2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．

22

例1 (1)(2020·全国Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )

3A．a

2

解析 ∵3log32＝log38<2，∴log32<，即a

32

∵3log53＝log527>2，∴log53>，即b>c.

3∴a

(2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( ) 1－∞，? A.?e??

1

－，e? C.??e?答案 B

解析 由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，

B．(－∞，e) 1

－e，? D.?e??

即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，

即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到，

当a＝0时，两函数有交点，

当a<0时，向右平移，两函数总有交点，

当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，

把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a

规律方法 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0

(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 跟踪演练1 (1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex

－1

的大致图象可能是( )

答案 A

解析 当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排11

除B；f(0)＝ln 2－e－1，由于ln 2>ln e＝，e－1<，所以f(0)＝ln 2－e－1>0，故排除C.

222?|x|32

(2)已知函数f(x)＝??3?－x，若f(2a－1)>f(3)，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) 答案 B

2?x32解析 易知函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝??3?－x，故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，故f(2a－1)>f(3)等价于|2a－1|<3，解得－1

判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

B．(－1,2) D．(－∞，2)

(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1 函数零点的判断

x??xe，x≤0，例2 (1)已知函数f(x)＝?若函数g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，

?2－|x－1|，x>0，?

则x1＋x2等于( ) A．2 C．2或3 答案 D

解析 当x≤0时，

1

B．2或2＋

e1

D．2或3或2＋

e

f′(x)＝(x＋1)ex， 当x<－1时，f′(x)<0，

故f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 当－10， 故f(x)在(－1,0]上单调递增，

1

所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－. e

又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0

作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2， 1由图可知1

e若1

111

若m＝－，则x1＋x2＝－1＋3＋＝2＋. eee

(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]