第8讲 函数与方程
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·无锡调研)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．
解析 由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e－1－3＜0，f(1)＝e＋3＞0，所以f(x)的零点个数是1. 答案 1
2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________． 1??1???11??13?①?－4，0?；②?0，4?；③?4，2?；④?2，4?. ????????解析 ∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4＞0. ∴f(x)在其定义域上是单调递增函数．
?1?
∵f?－4?＝e－4＜0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2＜0， ??
?1??1?1
f?4?＝e－2＜0，f?2?＝e2－1＞0， ?????1??1?∴f?4?·f??＜0，故选③. ???2?答案 ③
3．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为________． 解析 当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根． 1
∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－4.
1
综上，当a＝0或a＝－4时，函数仅有一个零点． 1
答案 0或－4 2
4．(2013·朝阳区期末)函数f(x)＝2x－x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．
22解析 因为函数f(x)＝2x－x－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－x－??f?1?＜0，a的一个零点在区间(1,2)内，则有?，所以0＜a＜3.
??f?2?＞0，答案 (0,3)
5．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
解析 依据零点的意义，转化为函数y＝x分别和y＝－2x，y＝－ln x，y＝x＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3. 答案 x1＜x2＜x3
6．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析 由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a， ?1?g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax?x＋2?，
??1
则g(x)的零点是x＝0，x＝－2. 1
答案 0，－2
7．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________. 解析 求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
答案 2
?2x－1，x＞0，
8．已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实
?－x－2x，x≤0，数m的取值范围是________．
x??2－1，x＞0，
解析 画出f(x)＝?的图象，如图
2??－x－2x，x≤0
．
由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题
9．函数f(x)＝x3－3x＋2. (1)求f(x)的零点；
(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围． 解 f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝ (x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．
(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2. (2)令f(x)＜0，得x＜－2；
所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)； 满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；
令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．
10．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，
求a的取值范围．
解 设f(x)＝3x2－5x＋a，
则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，
?f?0?＜0，∴?f?1?＜0，?f?3?＞0，
f?－2?＞0，
?a＜0，即?3－5＋a＜0，
?3×9－5×3＋a＞0，
解得－12＜a＜0.
3×?－2?2－5×?－2?＋a＞0，
∴所求a的取值范围是(－12,0)．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·烟台模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在区间是________．
?11??1?①?4，2?；②(1,2)③?2，1?； ????④(2,3)．
解析 由f(x)的图象知0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，g(x)＝ln x＋2x1?1??1?
＋a，g(x)在定义域内单调递增，g?2?＝ln 2＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，g?2?·g(1)
????＜0. 答案 ③
2．(2013·连云港检测)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]sin?πx?，x＞0，??
时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝?1
－，x＜0，??x[－5,5]上的零点的个数为________．
解析 函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1) ＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，作出x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|的图象，并利用周期性作出函数f(x)在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g(x)在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f(x)与g(x)的图象有9个交点，所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为9.
则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间
答案 9
3．(2013·天津卷改编)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)，0，f(b)的大小关系为________． 解析 由f′(x)＝ex＋1＞0知f(x)在R上单调递增， 且f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 所以f(a)＝0时，a∈(0,1)．
又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增， 且g(1)＝－2＜0，所以g(a)＜0，
创新设计高考数学苏教理一轮题组训练：函数与方程
