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第二十五讲 奇数、偶数与奇偶分析
整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质： 1．奇数≠偶数
2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示
3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．
4．设m、n是整数，则m土n，m?n的奇偶性相同． 5．设m是整数，则m与m，mn的奇偶性相同．
奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法． 例题
【例1】 三个质数之和为86，那么这三个质数是 ． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手． 注： 18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．
1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．
利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．
简单地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才能一笔画．
【例2】 如果a、b、c是三个任意的整数，那么
a?bb?cc?a（ ）． 、、222 A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数
(2001年TI杯全国初中数学竞赛题) 思路点拨 举例验证或从a、b、c的奇偶性说明．
【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为al，a2，a3…，a9．求证：(all一1)( a2 —2)…(a9—9)是一个偶数．
(2)在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．
思路点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．
?、xn都是+1或一1，并且x1?x2?x3???xn?1?xn?0，求证：n是4【例4】已知x1、x2、x3、x2x3x4xnx1的倍数．
思路点拨 可以分两步，先证n是偶数2k，再证明k是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．
【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l×l的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以重复使用某些图形)． 问：最多可以用这7种图形中的几种图形?
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思路点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格． 注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．
在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．
一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．
所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．
【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?
思路点拨 这不可能．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能． 整数可以分为奇数和偶数两类．
【例7】在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?
思路点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可． 因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005=
1(1+ 2005)×2005=1003 ×2005为奇数；2因此，所求代数和为奇数．
注：抓住“a+b与a—b奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2005得到答案． 【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗?试证明你的结论．
思路点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．
这句话是正确的．下面证明之．
若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m—1)．那么，贺卡总张数为2m(2m—1)=4m2-2m，显然是偶数．
若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m，仍为偶数．
故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的．
注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．
【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．
思路点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原
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先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上． 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动： 第1次翻动全部1993枚，
第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚， 第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚， 第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．
这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上．
注：灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并有意想不到的效果． 【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．
思路点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，利用ai?bi与ai?bi (i=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．
设6张卡片正面写的数是a1、a2、a3、a4、a5、a6，反面写的数对应为b1、b2、b3、b4、b5、b6，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为a1?b1，a2?b2，a3?b3，a4?b4，a5?b5，
a6?b6．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．
于是a1?b1+a2?b2+a3?b3+a4?b4+a5?b5+a6?b6=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数． 另一方面，ai?bi与ai?bi (i=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以
a1?b1+a2?b2+a3?b3+a4?b4+a5?b5+a6?b6与(a1一b1)+(a2一b2)+(a3一b3)+(a4一b4)+(a5一
b5)+(a6一b6)= (a1?a2?a3?a4?a5?a6)一(b1?b2?b3?b4?b5?b6) =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．
所以，a1?b1，a2?b2，a3?b3，a4?b4，a5?b5，a6?b6这6个数中至少有两个是相同的． 注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．
【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：
(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢?
(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?
思路点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数． (2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．
注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．
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【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？
思路点拨 如果原来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时如果擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．如果擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论怎样操作，得到的三个数都是二偶一奇，不可能得到1995、1996、1997． 所以，原来的三个数不可能是2、2、2．
注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性．
【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24 … … 28 26 根据上面的排列规律，则2000应位于( )
A．第125行，第1列 B．第125行，第2列 C．第250行，第1列 D．第250行，第2列
思路点拨 观察表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正确的，因为2000=8×250，所以2000应在第250行，又因为250为偶数，故2000应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C． 注：观察、寻找规律是解决这类问题的妙招．
【例14】(2000年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a，右轮子上方的箭头指着的数字为b，数对(a，b)所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的个数为m，则
m等于( ) n1153 A． B． C． D．
26124 思路点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，
m5=，故选C． n12 【例15】(第江苏省竞赛题)已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n十2)(c+2n十3)，那么( )
A．S是偶数 B．S是奇数
C．S的奇偶性与n的奇偶性相同 D． S的奇偶性不能确定 思路点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可． 依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)． ∵a+b+c为偶数，6(n+1)为偶数， ∴a+b+c+6(n+1)为偶数
∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S是偶数．故选A．
注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．
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学力训练
1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是 数．
2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?
答： ．
3．已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc＝99，那么a?b?b?c?c?a的值等于 ．
4．已知n为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n一1，其中，能表示“任意奇数”的( ) A．只有(1) B．只有(2) C．有(1)和(2) D．一个也没有
5．如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a+(b一1)2c是( )． A．只当c为奇数时，其值为奇数 B．只当c为偶数时，其值为奇数
C．只当c为3的倍数，其值为奇数 D．无论c为任何正楚数，其值均为奇数 6．已知a，b，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )． A． S是偶数 B．S是奇数 C．S的奇偶性与n的奇偶性相同 D．S的奇偶性不能确定
(第16届江苏省竞赛题)
7．(1)是否有满足方程x2－y2=1998的整数解x和y?如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由． (2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?
8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌(A作1，J，Q，K分别作11，12，13，不同)，乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定?
9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ． 10．1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是 ．
(全国初中数学联赛试题)
11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有 名选手参加．
12．已知p、q、pq+1都是质数，且p一q>40，那么满足上述条件的最小质数p＝ ；q＝ ．
(第15届“希望杯”邀请赛试题)
13．设a，b为整数，给出下列4个结论：
(1)若a+5b是偶数，则a一3b是偶数； (2)若a十5b是偶数，则a一3b是奇数； (3)若a+5b是奇数，则a一3b是偶数； (4)若a+5b是奇数，则a一3b是奇数 其中结论正确的个数是( )．
A．0个 B．2个 C．4个 D． 1个或3个
14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸) ． A．0 B．1 C ．2 D．3 ( “五羊杯”竞赛题)
15．π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )． A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．质数
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初中数学培优竞赛讲座第25讲--奇数、偶数与奇偶分析
