课时跟踪训练(十六) 离散型随机变量的方差和标准差
一、填空题
1．已知X的概率分布为
X P 则V(X)＝________.
1
2．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X，则
4V(X)的值为________．
3．已知X～B(n，p)，且E(X)＝7，V(X)＝6，则p＝________. 4．已知随机变量X的概率分布为
X P
且E(X)＝1.1，则V(X)的值为________．
5．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．
二、解答题
6．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和V(X)．
7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：
0 1 51 p x 3 101 a 2 0.1 3 0.6
X P
Y P
0 0.3 0 0.1 1 0.3 1 0.5 2 0.2 2 0.4 3 0.2 试评定这两个保护区的管理水平．
8．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，求V(X)．
答 案
1．解析：∵a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3. ∴E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.
∴V(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81. 答案：0.81
1
2．解析：由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B(4，)，
4
133
故V(X)＝np·(1－p)＝4××＝.
4443答案： 4
3．解析：∵E(X)＝np＝7，V(X)＝np(1－p)＝6， 61
∴1－p＝，即p＝.
771
答案： 7
131
4．解析：由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.
5102
11311
又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2，可得V(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×
5210523
＋(2－1.1)2×＝0.49.
10
答案：0.49
5．解析：设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即
X P
所以V(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21. 答案：0.21
6．解：这3张卡片上的数字和X的可能取值为6,9,12. X＝6表示取出的3张卡片上都标有2， C378
则P(X＝6)＝3＝.
C1015
X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
1C278C2
则P(X＝9)＝3＝.
C1015
0 0.3 1 0.7 X＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，
2C118C2
则P(X＝12)＝3＝.
C1015
所以X的分布列如下表：
X P
771
所以E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
151515
6 7 159 7 1512 1 15
771
V(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×
151515＝3.36.
7． 解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为 E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
V(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为 E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
V(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，V(X)＞V(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．
8．解：先求X的分布列． X＝0,1,2,3.
X＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种， 21
所以P(X＝0)＝＝；
3！3
X＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种， 31
所以P(X＝1)＝＝；
3！2
X＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P(X＝2)＝0； X＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种， 11
所以P(X＝3)＝＝.
3！6所以X的概率分布如下：
X P 0 1 31 1 22 0 3 1 6111所以E(X)＝0×＋1×＋2×0＋3× 32611
＝＋＝1， 22
111
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×0＋(3－1)2×＝1.
326
高中数学苏教版选修2-3：课时跟踪训练（十六） 离散型随机变量的方差和标准差
