全国卷历年高考立体几何真题归类分析2019.7(含答案)
类型一:直建系——条件中已经有线面垂直条件,该直线可以作为z轴或与z轴平行,底面垂直关系直接给出或容易得出(如等腰三角形的三线合一)。这类题入手比较容易,第(Ⅰ)小问的证明就可以用向量法,第(Ⅱ)小问往往有未知量,如平行坐标轴的某边长未知,线上动点或存在性等问题,以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解,对于线上动点问题,主意共线向量基本定理的应用,只设一个未知数,而不是直接设动点坐标。
1.(2014年全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.
2.(2015年全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
3.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
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4.(2016年全国Ⅲ卷)如图,四棱锥P?ABC中,PA?底面面ABCD,AD∥BC,
AB?AD?AC?3,PA?BC?4,M为线段AD上一点,AM?2MD,N为PC的中点.
(I)证明MNP平面PAB;(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
5.(2017全国Ⅱ卷)如图所示,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
1AD,?BAD??ABC?90o, E是PD的中点. 2(1)求证:直线CE//平面PAB;
ABCD,AB?BC?(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成的锐角为45o,求二面角M?AB?D的余弦值.
P
MABCED
6.(2019年全国Ⅱ卷17题)如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
2
7.AA1=4,AB=2,∠BAD=60°(2019年全国Ⅰ卷18题)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
类型二:证建系(1)——条件中已经给出线面垂直条件,该直线可以作为z轴或与z轴平行,但底面垂直关系需要证明才可以建系(如勾股定理逆定理等证明同一平面内两条直线垂直的定理)。这类题,第(Ⅰ)小问的证明用几何法证明,其证明过程中的结论通常是第(Ⅱ)问证明需要的条件。第(Ⅱ)小问开始首先要证明底面上两条直线垂直,然后才能建立空间直角坐标系求解。
1.(2011年全国卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.
2.(2012年全国卷)如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?BC?1AA1,D是棱AA1的中点,2DC1?BD.
(Ⅰ)证明:DC1?BC;
(Ⅱ)求二面角A1?BD?C1的大小.
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3.(2013年全国Ⅱ卷)如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=
2AB. 2(Ⅰ)证明:BC1//平面A1CD, (Ⅱ)求二面角D-A1C-E的正弦值
类型三:证建系(2)——条件中没有给出线面垂直条件,而底面两条直线垂直关系直接给出或容易得出。这类题解题关键在于第(Ⅱ)小问,即由已知条件证明线面垂直,常见的已知条件有面面垂直。
1.(2013年全国Ⅰ卷)如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,CA?CB,AB?AA1,?BAA1?60(Ⅰ)证明AB?A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
?.
2.(2014年全国Ⅰ卷)如图三棱柱ABC?A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB?B1C. (Ⅰ) 证明:AC?AB1;
o(Ⅱ)若AC?AB1,?CBB1?60,AB=BC,求二面角A?A1B1?C1的余弦值.
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3.(2016年全国Ⅰ卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,
?AFD?90o,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60o.
(I)证明:平面ABEF?平面EFDC;(II)求二面角E-BC-A的余弦值.
4.(2016年全国Ⅱ卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB?5,AC?6,点E,F分别在AD,CD上,AE?CF?5',EF交BD于点H.将?DEF沿EF折到?DEF位置,4OD??10.
(Ⅰ)证明:D?H?平面ABCD; (Ⅱ)求二面角B?D?A?C的正弦值.
5.(2017全国Ⅰ卷)如图所示,在四棱锥P?ABCD中,AB//CD,且?BAP??CDP?90o. (1)求证:平面PAB?平面PAD;
(2)若PA?PD?AB?DC,?APD?90o,求二面角A?PB?C的余弦值.
P
DABC
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全国卷历年高考立体几何真题归类分析2019(含答案)
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