（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有 否则车将离开桥面，做平抛运动；
， ，
（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当 的；当
时物体受到的弹力必然是向上的；当
时，向心力有两解
；当弹力
时物体受到的弹力必然是向下
时物体受到的弹力恰好为
；当弹力大小
时，向心
零。b. 当弹力大小 力只有一解 界条件。
结合牛顿定律的题型
时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临
例3：如图5所示，杆长为 ，球的质量为 ，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，
已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 ，求这时小球的瞬时速度大小。
图5
解析：小球所需向心力向下，本题中 能向下。
，所以弹力的方向可能向上也可
（1）若F向上，则 ， ；
（2）若F向下，则 ，
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。
需要注重的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。
结合能量的题型
例4：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为 管顺时针运动，经过最低点的速度都是 若要此时作用于细管的合力为零，那么
、
，沿环形
，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，、
、R和
应满足的关系是 。
解析：由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图6所示。
对于A球有
对于B球有
根据机械能守恒定律
由环的平衡条件
而 ，
由以上各式解得
图6
点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析，运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。
连接问题的题型
例5：如图7所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知
，
，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B
球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？
图7
解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得
因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即
设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为 ，由牛顿第二定律得
解以上各式得 方向竖直向下。
，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于 ，
说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题的共同点。
（四）难点问题选讲 1. 极值问题
例6：如图8所示，用细绳一端系着的质量为 细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为 的距离为
。若A与转盘间的最大静摩擦力为
的取值范围。（取
的物体A静止在水平转盘上，的小球B，A的重心到O点，为使小球B保持静止，求）
转盘绕中心O旋转的角速度
图8
解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。
对于B：
对于A： ，
联立解得 ，
所以
点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运
动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判定物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（非凡是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
2. 微元问题
例7：如图9所示，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为 （
），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，
才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？
图9
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m，则轨道上的那部分车的质量为
由机械能守恒定律得
由圆周运动规律可知，列车的最小速率 3. 数理问题
，联立解得
例8：如图10，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距 ，长 的
柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，
高一物理必修2圆周运动复习知识点总结及经典例题详细剖析25131
