2013年全国高中数学联赛试题及解答

加试

一、（本题满分40分）如图，AB是圆?的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE?EF?FB，连线PE、PF并延长，与圆?分别交于点C、D，求证 EF?CD?AC?BD

P

A

E

F

B

C

D

二、（本题满分40分）给定正整数u,v．数列?an?定义如下：a1?u?v,对整数m?1， ?a2m?am?u ?a?a?vm?2m?1记Sm?a1?a2?

?am?m?1,2,?．证明：数列?Sm?中有无穷多项是完全平方数．

三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n?2为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m道题的得分总和，将所有学生总分从高到低排列为p1?p2??pn，求p1?pn的最大可能值．

四、（本题满分50分）设n,k为大于1的整数，n?2k．证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除．