2013年全国高中数学联合竞赛
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 设集合A??2,0,1,3?，集合B?x|?x?A，2-x2?A．则集合B中所有元素的和为
__________．
解：易知B???2,0,?1,?3?．当x??2,?3时，2?x2??2,?7，有2?x2?A；而当
??x?0,?1时，2?x2?2,1，有2?x2?A．因此，根据B定义可知B???2,?3?．
所以，集合B中所有元素的和为?5．
2. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y?4x上，满足OA?OB??4，F是
抛物线的焦点，则SOFA?SOFB?__________．
3. 在△ABC中，已知sinA?10sinBsinC，cosA?10cosBcosC，则tanA的值为
___________．
解：sinA?cosA?10?sinBsinC?cosBcosC???10cos?B?C??10cosA， 所以sinA?11cosA，故tanA?11．
4. 已知正三棱锥P?ABC底面边长为1，高为2，则其内切球半径为___________．
5. 设a,b为实数，函数f?x??ax?b满足：对任意x?[0,1]，有f(x)?1．则ab的最
大值为___________．
解：易知a?f?1??f?0?,b?f?0?，则
221?111?ab?f?0???f?1??f?0?????f?0??f?1????f?1????f?1???．
244??42111当2f?0??f?1???时，ab?．故ab的最大值为．
2446. 从1,2,,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为
___________．
7. 若实数x,y满足x?4y?2x?y，则x的取值范围是___________．
8. 已知数列?an?共有9项，其中a1?a9?1，且对每个i??1,2,,8?，均有
at?1?1???2,1,??，则这样的数列的个数为____________． at?2?
二、解答题（3小题，共56分）
9. （本题满分16分）给定正数数列?xn?满足Sn?2Sn?1,n?2,3Sn?x1??xn．证明：存在常数C?0，使得
，这里
xn?C?2n,n?1,2,．
x2y210. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，
abA1,A2分别为椭圆的左、右顶点，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不
同于A1和A2的任意一点．若平面中两个点Q、R满足QA1?PA1，QA2?PA2， RF1?PF1，RF2?PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明．
2013年全国高中数学联赛试题及解答
