第一章 全等三角形 单元练习
一.选择题(在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的)
1.下列条件中,不能判定△ABC≌△A′B′C′的是 ( )A.AB=A′B′,∠A=∠A′,AC=A′C′ B.AB=A′B′,∠A=∠A′,∠B=∠B′ C.AB=A′B′,∠A=∠A′,∠C=∠C′ D.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
2.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
3.如图,△ABC和△DEF中,AB=DE.∠B=∠DEF,添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( ) A.AC∥DF
B.∠A=∠D C.AC=DF D.∠ACB=∠F
A4.如图,在△ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BPR≌△QPS中 ( )
BODCA.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确
第5题 第4题图
5.如图是一个风筝设计图,其主体部分(四边形ABCD)关于BD所在的直线对称,AC与BD相交于点O,且AB≠AD,则下列判断不正确的是 ( ) A.△ABD≌△CBD C.△AOB≌△COB
B.△ABC是等边三角形 D.△AOD≌△COD
6.下列命题中,不正确的是 ( ) A.各有一个角为95°,且底边相等的两个等腰三角形全等; B.各有一个角为40°,且底边相等的两个等腰三角形全等;
C.各有一个角为40°,且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等; D.各有一个角为40°,且有斜边相等的两个直角三角形全等. 二.填空题(不需写出解答过程,请把答案直接填写在相应位的置上) .....
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,PQ=AB,点P和点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动,则当AP=
D
第8题图 第9题图
时,才能使△ABC和△APQ全等.
第7题图
8.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,则下列结论:①DE=DF;②AD平分∠BAC;③AE=AD;④AB+AC=2AE中正确的是 .
9.如图,a∥b,点A在直线a上,点C在直线b上,∠BAC=90°,AB=AC,∠1=30°,则∠2的度数为 .
10.如图,△ABC中,P.Q分别是BC.AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC, 垂足分别是R.S, 若AQ=PQ,PR=PS,下面四个结论:①AS=AR ②QP∥AR ③△BRP≌△QSP,④AP垂直平分RS.
其中正确结论的序号是 (请将所有正确结论的序号都填上).
三.解答题(请在答题的指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明.证明 过程或演算步骤) 11.(2015?无锡)已知:如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE. 求证:(1)∠AEC=∠BED; (2)AC=BD.
12.如图,?ABC为等边三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作等边三角形?CDE,连接AE.
(1)求证:?CBD≌?CAE.
(2)判断AE与BC的位置关系,并说明理由.
13如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于P. (1)求证:△ABE≌△CAD; (2)求∠PBQ的度数.
14.如图,已知△ABC中,AB?AC?10厘米,BC?8厘米,点D为AB 的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.当一个点停止运动时时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t. (1)用含有t的代数式表示CP.
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与
BCADE△CQP全等?
参考答案
一.选择题 DCBBB 二.填空题
7.10或5 8.①②④ 9.750 三.解答题
11.证明:(1)∵CE=DE(已知), ∴∠ECD=∠EDC(等边对等角), ∵AB//CD(已知),
∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC(两直线平行,内错角相等), ∴∠AEC=∠BED(等量代换) (2)证:△AEC≌△BED(SAS)
12.∵△ABC.△DCE为等边三角形,∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=∠DBC=60°. 又∵∠ACD+∠ACB=∠DCB,∠ECD+∠ACD=∠ECA.∴∠ECA=∠DCB.
在△ECA和△DCB中,AC=BC,∠ECA=∠DCB,EC=DC.∴△ECA≌△DCB(SAS) ∴∠EAC=∠DBC=60°,又∵,∠ACB=∠DBC=60°.∴∠EAC=∠ACB=60°. ∴AE//BC.
13.∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°. 又∵AE=CD, ∴△ABE≌△ACD, ∴∠ABE=∠DAC.
又∵∠BPQ=∠ABE+∠BAD, ∴∠BPQ=∠DAE+∠BAD=60°, ∴在Rt△BPQ中,∠PBQ=30°, ∴PQ=1/2BP.
14.(1)①全等理由:
1=3(厘米)运动1秒后BP=CQ=3×, ∵AB=10厘米,点D为AB的中点,
10.①②④
∴BD=5厘米,
又∵PC= BC-BP,BC=8厘米, ∴PC=8-3=5(厘米), ∴PC=BD, 又∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴△BPD≌△CQP, ②∵v p ≠v Q ∴BP≠CQ,
又∵△BPD与△CQP全等,∠B=∠C, ∴BP=PC=4,CQ=BD=5, ∴点P,点Q运动的时间t=
=
(秒),
∴v Q = = = (厘米/秒),
当点Q的运动速度为 厘米/秒时,能使△BPD与△COP全等;
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇, 由题意,得解得x=
×3=80(厘米), x= 3x+2×10,
∴点P共运动了∵80=2×28+24,
∴点P.点Q在AB边上相遇, ∴经过
秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.