“华为杯”第十五届中国研究生
数学建模竞赛
题 目 基于卫星高度计海面高度异常资料
获取潮汐调和常数方法及应用
摘 要：
本文主要通过对TOPEX/POSEION卫星高度计在若干位置点观测得到的高度信息，在相关理论和经验公式的基础上，通过最小二乘法提取分潮调和常数。进一步，在相关数学模型基础上，沿轨道方向对各分潮的潮汐调和常数进行正压潮和内潮的分离，并作出各主要分潮的同潮图。所有模型均以验潮站数据作为参考值，以期获得观测点数量阈值、拟合函数阶数等与模型精度之间的关系，最终获得最优调和常数相关模型。具体工作详述如下：
针对问题一，通过对该调和常数模型分析可看出，各分潮的调和常数与潮高观测值存在线性关系，该模型的求解需采用调和常数线性最小二乘法模型。另一方面，资料中给出的部分沿轨道星下观测点所对应的观测次数较少，其若引入调和常数计算将严重影响结果精度，故使用观测数阈值模型评估能有效提取分潮的观测次数最小值。此外，沿轨道星下观测点与潮汐验潮点的地理位置不完全一致，地理位置的差距对潮汐调和常数的影响较大，因此提出了误差模型，其能匹配离验潮点位置最近的观测点来检验模拟得到的潮汐调和常数。参数估计过程中，假定除了四个分潮（??2、??2、??1、??1）外，其他分潮对实际水位的影响可忽略不计。将调和常数最小二乘模型、阈值模型及误差反馈模型有机结合起来，构成了问题一最终需要的调和常数估计模型——H、g-阈值-误差模型。经分析，当观测位置观测数阈值为75时（即某位置观测数据大于75则计入模型计算），计算得到的各主要分潮的调和常数较为理想。判断依据为，模型仿真结果与所有实际观测值振幅最大误差基本在±10 cm以内，平均误差小于5 cm。四个分潮中K1分潮振幅误差最小，M2分潮振幅误差最大。对于迟角，大部分观测站误差均小于10度，少数观测站绝对误差出现超过50度的现象，主要原因可能是原始调和常数计算模型中参数设置有一定的误差。因此本文的解题过程中，均选取观测次数大于75的沿轨道星下观测点数据。将各分潮调和常数与验潮站进行比较，得到M2分潮的振幅差的均方根为5.8328 cm，迟角差的均方根为9.9258°。S2分潮的振幅差的均方根为4.7543 cm，迟角差的均方根为10.7530°。K1分潮的振幅差的均方根为7.6919 cm，迟角差的均方根为18.9871°。O1分潮的振幅差的均方根为10.1969
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cm，迟角差的均方根为7.8207°。说明本文的结果具有较高计算精度，为问题2内潮信号与正压潮信号的分离奠定了扎实基础。
针对问题二，需要对沿轨道各分潮潮汐调和常数进行正压潮和内潮的分离，本文为此建立了沿轨分离模型。首先对数据进行分段预处理。对数据进行初步分析可知，给出的数据总共可分为20条轨道，将这20段轨道逐一标号，并分段提取观测数据。在正压潮和内潮的分离问题上，参考相关文献，采用了多项式拟合的方法对问题1中求出的调和常数进行展开。首先将幅度H和迟角g转化为极坐标形式Hcos g和Hsin g，并分别进行拟合，然后通过构造代价函数，将拟合过程转换为求解n个方程构成的线性方程组，最后采用最小二乘法求解该类方程分离得到该分潮的正压潮属性。在拟合过程中，选取拟合次数为3~15次，经过误差比较、分系，可得到11次多项式拟合结果与海表面分潮振幅的符合程度最高，能准确地表示正压潮值，从而保证内潮提取结果的准确性，其幅度误差均在2 cm以内，迟角误差则不超过2o。正文中给出了四个主要分潮的内潮和正压潮的振幅与迟角分布图。
针对问题三，由于沿轨道星下观测点数据有限，只能得到一定数量的数据。现需要绘制出南海的各主要分潮的同潮图，则需要得到研究区域内的任意点的调和常数。本文建立了两种数学模型，分别是基于多项式拟合的求解任意点调和常数的数学模型和二维空间属性插值模型。针对第一种模型，我们需要对数据进行预处理，得到轨道交点坐标，在研究区域内任选一点，得到该点到其最近两条上（下）行轨的距离比,在这两条上（下）行轨间的下（上）行轨上可以找到与该点具有相同距离比的一系列点,对这些点的调和常数进行多项式拟合。针对第二种模型，本文主要选取反距离加权插值算法和基于B样条函数插值算法进行研究，进行分别求解。正文中给出了两种模型所求解出的同潮图。
针对问题四，是对问题二和问题三中拟合或插值次数的探讨。问题二中已经对拟合次数对模型结果的影响作了初步的探讨，结合问题二中各个分潮不同拟合次数下潮汐调和常数的结果，得到拟合次数越高拟合结果的绝均差不一定越小。其中，拟合次数分别为7、8、9、10、11、12及14时，多项式拟合的振幅绝均差相当，明显好于其他次数的拟合结果；多项式拟合次数为11时，多项式拟合得到的迟角绝均差最小。因此本文选取多项式拟合次数为11，并将该结论运用至问题三。通过调整问题三模型的拟合次数，得到的同潮图与相关文献更相近。
关键词：潮汐调和常数、最小二乘法、同潮图、多项式拟合
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1、问题重述
1.1 问题背景
海洋潮汐是在天体引潮力作用下形成的长周期波动现象，在水平方向上表现为潮流的涨落，在铅直方向上则表现为潮位的升降。潮汐潮流运动是海洋中的基本运动之一，它是动力海洋学研究的重要组成部分，对它的研究直接影响着波浪、风暴潮、环流、水团等其他海洋现象的研究，在大陆架浅海海洋中，对潮汐潮流的研究更具重要性。海岸附近和河口区域是人类进行生产活动十分频繁的地带，而这个地带的潮汐现象非常显著，它直接或间接地影响着人们的生产和生活。潮汐潮流工作的开展和研究，可为国防建设、交通航运、海洋资源开发、能源利用、环境保护、海港建设和海岸防护提供资料。例如，沿海地区的海滩围垦、农田排灌，水产的捕捞和养殖，制盐，海港的选址及建设，以至于潮能发电等活动，无不与潮汐潮流现象有着密切的关系。
从区域海洋潮汐的数值模拟的现状来讲，四个主要分潮（M2、S2、K1、O1）的单一分潮的数值模拟与同化可以得到令人满意的结果，但其它分潮（N2、K2、P1、Q1等）的单一分潮的数值模拟与同化，结果却差强人意；这意味着其它分潮的数值模拟，只有与四个主要分潮同时进行数值模拟，才能得到可以接受的结果。从具体操作来讲，其它分潮由于相对较弱，导致模拟结果的精度难以提高。
从各分潮的调和常数获取的发展史来说，通过对已有观测结果进行插值曾经是首选，但发展过程中逐渐被数值模拟方法所取代。高度计资料的出现，引发部分学者开展了插值方法的研究，并取得了一些值得一提的结果，尽管被所谓的主流方式淹没，但也难掩其光芒所在。鉴于目前已有高度计资料作为支持，其它分潮及长周期分潮的调和常数获取的插值方法研究大有可为。 1.2问题描述
本题主要任务是根据卫星高度计海面高度异常资料，建立获取潮汐调和常数并进行评价分析的数学模型，主要包括：正确提取各主要分潮的潮汐调和常数，对各分潮进行正压潮和内潮的分离，正确绘出南海各主要分潮的同潮图。根据题目和附件所提供的相关信息及数据，主要要求 我们解决以下问题：
问题1：根据沿轨道的星下观测点的海面高度异常值，建立数学模型提取所有星下观测点各主要分潮（??2、??2、??1、??1）的潮汐调和常数，是否有效提取那些分潮的潮汐调和常数取决于相应的资料长度；对提取的潮汐调和常数，利用潮汐验潮点的调和常数给予评价或检验，并给出评价结果的分析或评价。
问题2：得到所有星下观测点各主要分潮（??2、??2、??1、??1）的潮汐调和常数，沿轨道作图后，可发现潮汐调和常数在沿轨道方向，在空间有细结构，而此细结构是内潮对正压潮的调制；请设法对沿轨道的各分潮的潮汐调和常数进行正压潮和内潮的分离。
问题3：设计数据插值或拟合方法给出南海的各主要分潮的同潮图，并利用潮汐验潮点的调和常数给予评价或检验，并给出评价结果的分析或评价。
问题4：如果在对沿轨道的潮汐调和常数分离、插值或拟合的过程中，利用了特定的函数进行拟合，是否能够确定出需利用的特定函数的最佳（高）次数，上述结论是否对第3问有启示或帮助。
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2018年研究生数学建模D题一等奖获奖论文及程序 (4)
