2．1.1 曲线与方程
学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．
知识点一 曲线与方程的概念
思考1 设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？ ①{P|PA＝PB}(A，B是两个定点)； ②{P|PO＝3 cm}(O为定点)．
答案 ①线段AB的垂直平分线；②以O为圆心，3 cm为半径的圆． 思考2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答案 y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．
梳理 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；① (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，②
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读
思考1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．
答案 不能，还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是不是都在曲线上．例如曲线C为
1
“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
思考2 方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？
答案 方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线．因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解．例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点．方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线． 梳理 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．
曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质
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类型一 曲线与方程的概念应用
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k. 证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k， 即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解， 则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
跟踪训练1 写出方程(x＋y－1)x－1＝0表示的曲线．
??x－1≥0，解 由方程(x＋y－1)x－1＝0可得?或x－1＝0.
?x＋y－1＝0?
2
即x＋y－1＝0 (x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0 (x≥1)． 类型二 曲线与方程关系的应用
例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D．坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上 答案 D
解析 因曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，满足了曲线与方程的概念的条件①，而且阐明了曲线C上无坐标不满足方程F(x，y)＝0的点，也就是说，坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上，根据条件，无法判断满足曲线与方程概念的条件②，从而选项A、B、C均错误，故选D.
反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．
跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围． 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
11a＋?2＋. ∴k＝－2a2－2a＝－2??2?21
∴k≤，
2
1－∞，?. ∴k的取值范围是?2??
跟踪训练3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上； m
，－m?在此方程表示的曲线上，求m的值． (2)若点M?2??解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(2，3)不在此曲线上．
mm
，－m?在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴??2＋(－m－1)2＝10.解得m＝2(2)∵M??2??2?18
或m＝－. 5
3
1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 由曲线C的方程是f(x，y)＝0得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.
2．若一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动，则它和定点B(3,0)的连线的中点P的轨迹方程是( ) A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3)2＋4y2＝1 答案 C
x0＋3y0＋0解析 设动点C的坐标为(x0，y0)，P点的坐标为(x，y)，则x＝，y＝，即x0＝2x
22－3，y0＝2y.
又动点C(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1即为所求． 3．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( ) A．直线2x－y＝0 B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0 D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0 答案 C
解析 原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.
1
4．若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B(，3)，则a＝________，b＝________.
2答案 4 1
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解析 ∵曲线过A(0，－2)，B(，3)两点，
24b＝4，????b＝1，∴?1∴?
?a＝4.a＋3b＝4，???4
B．(x－3)2＋y2＝1 3
D．(x＋)2＋y2＝1
2
5．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________． 答案 4个点
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2??????x－4＝0，?x＝2，?x＝－2，?x＝2，?x＝－2，????解析 由题意，得2∴或或或? ?y－4＝0，??y＝2??y＝－2，??y＝2??y＝－2?
∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点．
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、选择题
1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是( )
A．方程f(x，y)＝0所表示的曲线是曲线C B．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 答案 B
解析 “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确．
2．曲线C的方程为y＝2x－1(1 解析 由y＝2x－1(1 3．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是( ) A．一条直线 C．一个圆 答案 D 解析 由|x|＋|y|＝|xy|＋1得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线． 4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是( ) ①y＝alogaxB．一个正方形 D．四条直线 ；②y＝x2；③y＝logaax；④y＝x3. 3A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 5
步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.1.1
