课时分层作业(七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设n为自然数，则Cn2－Cn2
n0n1n－1
＋…＋(－1)Cn2
kkn－k＋…＋(－1)Cn等于( )
nnA．2 B．0 C．－1 D．1 D [原式＝(2－1)＝1.]
n?31?2．已知?2x＋?的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为( )
x??
A．7 B．8 C．9 D．10
n?31?rn－r3n－4rB [?2x＋?的展开式的通项Tr＋1＝Cn2x，由r＝6时，3n－4r＝0，得n＝8.]
x??
3．若(1＋3x)(n∈N＋)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A．4 B．27 C．36 D．108
D [Tk＋1＝Cn(3x)，由Cn＝6，得n＝4，从而T4＝C4·(3x)，故第四项的系数为C43＝108.] 1?????x－x?，x<0，
?4．设函数f(x)＝????－x，x≥0，( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4
?1－x?
B [依据分段函数的解析式，得f(f(x))＝f(－x)＝??，
?x?
4
nnkk23333
则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为
∴Tk＋1＝C4(－1)xnkkk－2
.令k－2＝0，则k＝2，故常数项为C4(－1)＝6.]
22
?3x＋1?5．使?? (n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
xx??
A．4 B．5 C．6 D．7
1?5rn－r?rn－rn－
B [由二项式定理得，Tr＋1＝Cn(3x)??＝Cn3x2r，令n－2r＝0，当r＝2时，n?xx?＝5，此时n最小．]
二、填空题
6．若(1＋2x)的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．
?T2＞T1，?1，1? [由???125????T2＞T3，?
56
r5
??C62x＞1，
得?122
?C62x＞C6?2x?.?
7
8
1
11
解得＜x＜.] 125
3
7．在(1－x)＋(1－x)＋(1－x)＋(1－x)的展开式中，含x的项的系数是________．
6
－121 [展开式中含x项的系数为C(－1)＋C(－1)＋C(－1)＋C(－1)＝－121.] 8．(1＋x)(1＋y)的展开式中xy的系数是________．
168 [在(1＋x)展开式中含x的项为C8x＝28x，(1＋y)展开式中含y的项为C4y＝6y，所以xy的系数为28×6＝168.]
三、解答题
6
?2x－1?9．在??的展开式中，求：
x??22
8
2
22
2
4
2
22
2
8
4
22
3
3
5
3
36
3
37
3
38
3
(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x的项．
[解] (1)第3项的二项式系数为C6＝15，
2
?－1?42
又T3＝C(2x)??＝2·C6x，
x??
2
6
4
2
2
所以第3项的系数为2C6＝240.
k?－1?k6－kk3－k(2)Tk＋1＝C6(2x)??＝(－1)2C6x，令3－k＝2，得k＝1.
x??
k6－k42
所以含x的项为第2项，且T2＝－192x.
10．已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)＋(1＋x)展开式中x的系数为19，求x的系数的最小值及此时展开式中x的系数．
[解] 由题设m＋n＝19，∵m，n∈N＋.
??m＝1 ，
∴?
?n＝18，?
7
22
mn2
??m＝2，
?
?n＝17，?
2
??m＝18，
…，?
?n＝1.?
222
x2的系数C2m＋Cn＝(m－m)＋(n－n)
1
212
?19?323
＝m－19m＋171＝?m－?＋.
2?4?
2
∴当m＝9或10时，x的系数取最小值81， 此时x的系数为C9＋C10＝156.
[能力提升练]
1．在(1－x)(1＋x)的展开式中x的系数是( ) A．－297 C．297
5
10
5
2
3
10
5
7
7
7
2
B．－252 D．207
3
D [x应是(1＋x)中含x项与含x项分别与1及－x相乘再把积相加． ∴其系数为C10＋C10(－1)＝207.]
2．若Cnx＋Cnx＋…＋Cnx能被7整除，则x，n的值可能为( ) A．x＝4，n＝3
B．x＝4，n＝4
1
225
2
nn
C．x＝5，n＝4
1
22
D．x＝6，n＝5
nnnC [Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＝(1＋x)－1，分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅C适合．]
6
?x－a?3
3．设二项式?? (a>0)的展开式中x的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值
x??
是________．
13
－6－r6－rrrr42
2 [对于Tr＋1＝C6x(－ax2)＝C6(－a)·x2r，B＝C4A＝C26(－a)，6(－a).∵B＝4A，
a>0，∴a＝2.]
?x?2n4．设a≠0，n是大于1的自然数，?1＋?的展开式为a0＋a1x＋a2x＋…＋anx.若点Ai(i，
?a?
ai) (i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.
n
?x?3 [由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．即a0＝1，a1＝3，a2＝4.由?1＋?的展开式的?a?
CnCn?x?通项公式知Tk＋1＝C?? (k＝0,1,2，…，n)．故＝3，2＝4，解得a＝3.] aa?a?
knk1
2
nx1??5．求?＋＋2?的展开式的常数项． ?2x?
5
?x1???x1???x1??x1?01
[解] 法一：由二项式定理得?＋＋2?＝??＋?＋2?＝C5·?＋?＋C5·?＋?
?2x???2x???2x??2x?
4
555
?x1??x1??x1?2334455
·2＋C·?＋?·(2)＋C5·?＋?·(2)＋C5·?＋?·(2)＋C5·(2).
?2x??2x??2x?
25
32
?x1??1??x1?1233
其中为常数项的有：C?＋?·2中的第3项；C5C4·??·2；C5·?＋?·(2)中
?2x??2??2x?
15
422
131355
的第2项：C5C2··(2)；展开式的最后一项C5·(2).
2
1632?1?21231355
综上可知，常数项为C5C4·??·2＋C5C2··(2)＋C5·(2)＝.
22?2?
?x2＋22x＋2?
法二：原式＝??
2x??
＝
112510
5·[(x＋2)]＝5·(x＋2). 32x32x10
5
5
求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋2)的展开式中含x的项的系数，即
C10·(2)632C·(2)，所以所求的常数项为＝. 322510555
2024-2024学年高中数学课时分层作业7二项式定理
