角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角?与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角?的关系，由
?公式cos?co?sco?（s其中?是直线与平面所成的角）易知
（最小角定理）故一般地，
cos??cos?????，cos??cos?????若异面直线a、b所成的角为?，L与a、b所成的角均为?，据上式有如下结论：当
0????2时，这样的直线不存在；当
???2时，这
?样的直线只有一条；当2?????2??????2时，这样的直线有两条；当
2???????2时，这样的直线有四
时这样的直线有3条；当
条
2.如果异面直线a、b所在的角为100?,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是50?的直线有几条？
A、一条 B二条 C三条 D四条
(答案：C)
【易错点4】求异面直线所成的角，若所成角为900，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法1、在三棱柱
ABC?A1B1C1中，若AB?2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（ ）
A、600 B、900 C、1050 D、750
【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。
解析：如图D1,D分别为B1C1,BC中点， 连结
BB1?1,则AB?2 AD,D1C，设
则AD为AB1在平面BC1上的射影。又
32BC2,BD?,cos?C1BC??,32BC13?DE2?BE2?BD2?2BE?BD?cos?C1BCBE??113221??2????323236而
111???BD2,??BED?900AB与CB11垂直。362?BE2?DE2?【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如900时，可以采用证明垂直的方法来求之
【易错点5】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆
1、如图，在北纬450的纬线圈上有B两点，它们分别在东经700与东经
1600的经度上，设地球的半径为
R，求B两点
的球面距离。
解析：设北纬450圈的圆心为O?，地球中心为
000?AOB?160?70?90, 1O，则
?OBO1?45,OB?R,0O1B?O1A?2R,AB?R,2连结AO,AB，则
AO?BO?AB?R,??AOB?60011?AB?2?R??R63。故A、B
两点
1?R间的球面距离为3。
【知识点归类点拨】数学上，
某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（00经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：
图（1）：经度——P点的经度，也是AB或?AOB的度数。图（2）：纬度——P点的纬度，也是PA或?POA的度数
（III）由II知，OF?平面PBC，?F是O在平面PBC内的射影.D是
PC的中点，若点F是PBC的重心，则B、F、D三点共线，?直线
OB在平面PBC内的射影为直线BD.OB?PC ?PC?BD
?PB?BC，?O即K?1.反之，当K?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥，
在平面PBC内的射影为?PBC的重心.
方
法
二
:
OP?平面
ABC,OA?OC,AB?BC,?OA?OB,OA?OP,OB?OP.
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系
O?xyz(如图)，设AB?a,则
A(22a,0,0)B(0,a,0)C(?2a,0,0)222,,.设OP?h,
则P(0,0,h)
?OD＝(I) D为PC的中点，
?(??221AP?(a,0,)h?a,0,h)242，又
,?OD?1???PA//OD2?＝-PA ?OD//平面PAB.
【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空
2020最新高考数学复习专题 立体几何
