第七章线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换?
(1) 设「是线性空间\中的一个固定向量，
(I) '二I r , - ^r
,
解：当厂时，Jr --打'显然是〕r
的线性变换；
当#Ho时，有 □(坷+住J二0+坷+隔，o(坏)+讥础二20 +兔+碍，则「： D2
7Q I ,即此时〕不是\的线性变换。
(H)Jr - .，弋「
解：当?时显然是「的线性变换；
当 PHo 时，有 τ(oi+a^=β ,讥 Q])+??)二 2Q ,则
L I- J --■■■■ 4八-i ' ' λ: ■,即此时L不是.的线性变换。
(2) 在〔中,
(I) —」TII 1 ',
. ■ _ ' \：■,
解：「不是丁的线性变换。因对于L=Im二产，有=l
-∣I
I--, 】「工-匚〕「，所以-'l
O
(H)「■- ■_ ■ '.'.；
解：一是厂的线性变换。设八—，其中「一 m 则有]■■■ 1
'心 ■! T
- ■ ■-二 〔〔
=(2Ul +Λ) -(?+Λ)-(? +Λ)+(? +Λ)-2?+Λ))Γ =
ΦI+Λ?+ΛΛ+J?) = Φ +向
(ka) - τ(?xb??t?x3) = (2?x1 -??j?? +b?,2b?)
,
-■ ■■ ■ ,. ■■ I ■,. ?∣ -JO
(3) 在中, (I) TTT=『；\J
解：：一是十的线性变换：设用门尹―,则
σ (/(?+并》二金+1)+g(x+l)二曲(X))+σ?(幼，
匚宀：- ‘m .τ?'-'ι? < o
(H)'- ? ，其中 '［是「中的固定数；
解：】一是JL的线性变换：设TLyT三「、一，则
口CW)) = =⑴)，^keFO
(4) 把复数域「看作复数域上的线性空间,,其中亍是匚的 共轭复数； 解：「不是线性变换。因为取
；=,二二】时，有」\—
kσ(fii) = ka = i,即 Ekg)H ?σ(α) O
(5) 在中，设亠与工是其中的两个固定的矩阵，JT汇厂习?」 VXeM1(F)o
解：乙是3Z八的线性变换。对,「；—，有
,
am 二 P(JCX)Q= k(PXQ) = kσ(X) O
习题7.1.2在〔中，取直角坐标系 U ,以：表示空间绕空轴由J 轴向「方向旋转900的变换，以 '表示空间绕J轴由一一轴向…方向 旋转900的变换，以「表示空间绕一轴由二轴向］方向旋转900的 变换。证明一
「：-匚;-丁(表示恒等变换)，
?> R罠；
并说明L，是否成立。
证明：在丁中任取一个向量■■- ' 'l.\ ,则根据匚，*及：的定义可 知：J -「.1 ，「 J「，—
- 一」，
1
恥二(VP) ， RIa= (-xry,z) ； RIa^(XiytZ)，曲二(3⑵， R^a=(XtyiZ)，即丽二 Ka = EE二 Q，故 E=E=E “。
因为,：「=、「J?「二 !
ERM珂厲閒=0W)=O”,-x),所以昭會。 因为.打匸一―上：匚二—二--√\-- -
η
，
二「m — m，所以 V二。
因为 ? ;- - ■ ■'■■:■ ■■■:■ - — '■ 1 ' ? -L
π
Ii
1
7
，
「一匚■ - -?； √ - f‘‘ ,所以O
习题 7.1.3 在I 中,「_——「「，MT=C「；,证明「丄 JO 证明：在F -中任取一多项式；」」，有
(E-τσ)f(^) = (στ)f (X)- (^σ)f(x)=(处巩幼-伉才㈡) -■ V'' 1 ■\
'-/ 仃：?''f ■：-/■' : 1。所以「二一-
,证明
1
习题7.1.4设］,L是“上的线性变换。若
Crtr-
τσ = d' (i > 1) o
k
高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案.docx
