考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用k表示出dO?PQ,PQ，从而SVOPQ也可用k进行表示：SVOPQ44k2?34??4k2?14k2?3?44k?3244k2?3，再利用均值不
等式即可得到最大值。等号成立的条件4k?3?圆相交，所以消元后的方程??0）
2即为k的值。（注意直线与椭
（2）设直线PQ:y?kx?2，P?x1,y1?,Q?x2,y2?
?y?kx?222?联立方程可得：?2?x?4kx?2?4，整理后可得： ??2x?4y?4??4k2?1?x2?16kx?12?0 ，因为方程有两个不等实根
2????16k??48?4k2?1??0 解得：k?1SVOPQ?dO?PQ?PQ
2dO?PQ?2k?1233或k?? 22 PQ?1?k2x1?x2?1?k2??x1?x2?2?4x1x2
由方程4k2?1x2?16kx?12?0可得：
??x1?x2?16k12代入PQ可得： ,x?x?124k2?14k2?12264k2?48244k?3PQ?1?k??1?k? 4k2?14k2?1?SVOPQ21244k2?34244k?3 ???1?k???4k2?3?42k2?14k2?14k2?14k2?3?244k?3?44k2?3
由均值不等式可得：4k?3?244k?32?24k2?3?44k?32?4
等号成立条件：4k2?3?44k2?3?4k2?3?4?k??7 2?SVOPQ?1此时k??7 2?l的方程为y?77x?2或y??x?2 22x2y21例8：已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于
ab2A,B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
（1）求椭圆C的方程
2 2rruuuruuuuuuruuu（2）若P,Q,M,N是椭圆C上的四点，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且uuuruuurPF?MF?0，求四边形PMQN面积的最小值
解：（1）e?c1?，设F?c,0?，则l:y?x?c a2?dO?l?c2?2?c?1 2?a?2,b2?a2?c2?3
x2y2???1 43uuuruuur（2）由（1）可得：F?1,0?，因为PF?MF?0?PF?MF
?SPMQN?1MN?PQ 2设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，PQ:y?k?x?1?，
22??3x?4y?12联立方程可得：?，消去x可得：
??y?k?x?1?3x2?4k2?x?1??12整理后可得：?4k2?3?x2?8k2x?4k2?12?0
22144k2?14412?k?1? ① ?PQ?1?kx1?x2?1?k??224k?34k?322
设MN:y??11?x?1?，以?替换①中的k可得： kk?1?12?2?1?12k2?12k??MN?? 243k?4?32k?SPMQN21112?k?1?12k2?12 ?MN?PQ???22224k?33k?41?22k?2k?1k?72? ?72? 42112k?25k?12??12?k2?2??25k??42k2?设u?k?21，可得u??2,??? 2ku?21???6?1??
12u?2512u?25???SPMQN?72??u?2时，Smin?288 49例9：在平面直角坐标系xOy中，已知点A??1,1?，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP?kOA?kPA （1）求点P的轨迹方程
uuuruuur（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且PQ??OA，直线OP与QA交于点M，问：
是否存在点P使得VPQA和VPAM的面积满足SVPQM?2SVPAM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
（1）思路：本题设点P?x,y?，且O,A已知，直接利用条件列出等式化简即可 解：设P?x,y?，由A??1,1?,O?0,0?可得：
kOP?yy?1,kOA??1,kPA?，依题意kOP?kOA?kPA可得： xx?1yy?1?1??y?x?1??x?x?1??x?y?1?整理后可得： xx?1y?x2，其中x?0,x??1
所以P的轨迹方程为y?x2?x?0,x??1?‘
（2）思路：从图中可得VPQA和VPAM的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即SVPQM?2SVPAMuuuruuuruuuruuur?QA?2AM，再由PQ??OA可得PQ∥OA，进而
QA?2AM?OP?2OM，由O,P,M共线再转成向量关系则只需求出M的坐标即可解
出P的坐标 解：设Px1,x?21?,Q?x,x?222uuuruuuruuuruuur QPQ??OA ?PQ∥OA
kPQ?kOA2x2?x12??1，即??1?x2??x1?1
x2?x1?kQA2x2?1??x2?1??x1?2 x2?1?QA:y?1???x1?2??x?1? 因为OP:y?x1x
?y?1???x1?2??x?1?1 可解得xM?? ?M:?2?y?x1x11QA?dP?QM,SVPAM?AM?dP?QM且SVPQM?2SVPAM 22uuuruuur?QA?2AM QPQ∥OA QSVPQM?uuuruuuur?QA?2AM?OP?2OM，即OP??2OM ?xP??2xM?1
?P?1,1?
所以存在符合条件的P?1,1?
例10：设抛物线y?2x的焦点为F，过点M2?3,0的直线与抛物线相交于A,B两点，
?与抛物线的准线相交于C,BF?2，则VBCF与VACF的面积
之比
SVBCF?（ ） SVACFA.
4241 B. C. D. 5372思路：由BF?2联想到焦半径公式，从而可解得
xB?3?3，从而可判断出B在M的左侧，作出图像可发现两个三角形具备同“高”的2特点（即F到BC的距离），所以
BCSVBCF，若直接从BC,AC长度出发，则运算量?SVACFAC较大，所以考虑将比值视为整体，并进行线段的转移，可过A,B分别引准线的垂线，从而
将
BCAC?2dB?l，只需联立直线抛物线方程求出A点横坐标即可。 dA?l解：由y?2x可得p?1，设A?x1,y1?,B?x2,y2?
?BF?x2?pp3?2?x2?2??，设F到直线AB的距离为d 222则
SVBCFSVACF1d?BCBC ?2?1ACd?AC2过A,B分别引准线的垂线AP,BQ ?AP∥BQ
p1x?2BCBQ22 ?=??ACAPx?px?111222?y??2x2设AB:y?kx?3，联立方程：?消元可得：kx?3y?kx?3??x2???????2?2x
整理后可得：kx?23k?2x?3k?0
22?2?2?x1x2?3?x1?2 ?SVBCFSVACF12?4 ??15x1?2x2?答案：A
小炼有话说：本题设计的精妙之处在于允许有多种解题方向（比如计算坐标，计算底边长）等，但方法层次不同，所耗费的时间也不一样。通过本题要体会以下几点： （1）在抛物线中焦半径与点横坐标的联系，已知焦半径可迅速求出该点的横坐标 （2）处理面积的比值问题时，可考虑两个图形共同的部分（底，高），从而将比值转化为线段的比值
（3）在抛物线中常用的辅助线是过抛物线上的点引准线的垂线。本题恰好利用这一点转移了比例，简化了运算
全国高考数学复习微专题：圆锥曲线中的面积问题
