【知识点：复数的概念、复数的代数形式】
2?m?5m?6?0?22?m?2 解：若复数?m?5m?6???m?3m?i为纯虚数，则?2??m?3m?0能力型 师生共研
3π5π
7.若θ∈(4，4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】
3π5π
解：B.∵θ∈(4，4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B. 8.复数复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有（ ） A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2 C.a≠－1 D.a≠2
【知识点：纯虚数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】
解：C.若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a＝2.综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数.
9.集合｛Z︱Z＝in?i?n,n?Z｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A.｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝
C.｛0，2，－2，2i｝ D.｛0，2，－2，2i，－2i｝ 【知识点：复数的乘法运算】
解：A 点拨：根据i成周期性变化可知.
10.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：B
探究型 多维突破
11复数z1=3+4i，z2=0，z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A?B?C，若
n∠BAC是钝角，求实数c的取值范围. 【知识点：复数的几何意义，代数形式】
解：在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c-6)，由∠BAC是钝
uuuruuur49角得AB?AC<0，且B?A?C不共线，由(-3，-4)·(c-3，2c-10)<0解得c>,其中
11当c=9时，AC?(6,8)??2AB，三点共线，故c≠9.∴c的取值范围是
(49,9)(9,??). 1112.在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？ （1）|z-1-i|=|z+2+i|；（2）|z+i|+|z-i|=4；（3）|z+2|-|z-2|=1； （4）若将（2）中的等于改为“≤”呢？ 【知识点：复数四则运算及复数几何意义】
解：（1）直线；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）椭圆及其内部 自助餐
1.已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（ ） A.0 B.﹣1 C.1 D.﹣i 【知识点：复数的乘法运算】 解：D
2.设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（ ） A.﹣2﹣6i B.﹣2+2i C.4+2i D.4﹣6i 【知识点：复数的乘法运算】 解：B
3.实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（ ） A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 【知识点：复数的运算、复数相等的概念】 解：B
4.设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（ ）
A.3 B.?3i C.?1 D.?3
【知识点：复数的概念、复数的代数形式、复数的模】 解：D
2
5.2＋7，7i，0，8＋5i，(1－3)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
【知识点：复数的概念、复数的代数形式】
2
解：C.7i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0，0.618是实数，8＋5i是虚数. 6.已知复数z＝
1
＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( ) a－1
A.1或－1 B.1 C.－1 D.0或－1 【知识点：复数的概念、复数的代数形式】
2a－1＝0，?12
?解：C.因为复数z＝ ＋(a－1)i是实数，且a为实数，则解得
a－1?a－1≠0，
a＝－1
7.复数z＝icosθ，θ∈[0，2π)的几何表示是( ) A.虚轴 B.虚轴除去原点
C.线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0，1)，(0，－1) D.C中线段PQ，但应除去原点
【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：C
8.已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________. 【知识点：复数的概念、复数的代数形式】
?2m－5n＝3n，?m＝－8，
?解：－10 根据复数相等的充要条件可知：解得?所?3＝－(m＋5)，?n＝－2.以m＋n＝－10.
9.若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m满足________. 【知识点：复数的概念、复数的代数形式】
解：m≠－1且m≠6. 因为m2－3m－4＋(m2－5m－6)i是虚数，所以m2－5m－
6≠0，所以m≠－1且m≠6.
10.如果log1(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？
2【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】
解：因为log1(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log1(m＋n)－(m2－3m)i是实数，
22从而有m2－3m=0，且log1(m＋n)>－1
2解得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1； 当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾， 综上可得m＝0，n＝1.
11.设复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i，
(1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？
【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】 解：(1)因为复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i是纯虚数，
?2
所以?lg(m－2m－3)＝0，
?m2＋3m＋2≠0.
m2－2m－3＞0，
解得m＝1±5，所以当m＝1±5时，z是纯虚数.
2m－2m－3＞0，?22
?(2)因为复数z＝lg(m－2m－3)＋(m＋3m＋2)i是实数，所以2 ?m＋3m＋2＝0，
解得m＝－2，所以当m＝－2时，z是实数.
12.已知复数|z|＝1，求复数|3＋4i＋z|的最大值及最小值. 【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i). ∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，
∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3，4)为圆心，1为半径的圆， ∴对应的复数ωA的模最大为5＋1＝6； 对应的复数ωB的模最小，为5－1＝4， ∴复数|3＋4i＋z|的最大值及最小值分别为6和4.
数学视野
自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数.从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.
随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数，这是数的概念的第一次扩展.
最初人们在记数时，没有“零”的概念.后来，在生产实践中，需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用 “空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.
以后，为了表示具有相反意义的量，负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.
数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.
数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用，成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.
人教课标版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的概念》教案-新版
