3.1 数系的扩充和复数的概念
一、教学目标 1.核心素养
通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
（2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件. （3）复数的向量表示. 3.学习重点
复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示. 4.学习难点
复数相等的条件，复数的向量表示. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务
任务1 阅读教材P102，思考：方程x2?1?0在实数集中无解.联系从自然数系到
实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
任务2 阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？
任务3 阅读教材P104-P105，思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可
以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
2.预习自测
1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( ) A.±1 B.±i C.±2i D.±2i 解：C
2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5 D.±2，1 解：C
3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1 解：B
（二）课堂设计 1.知识回顾
（1）对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括
自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数
2.问题探究
问题探究一 数系的扩充 重点知识★ 2对于实系数一元二次方程x?1?0，没有实数根.我们能否将实数集进行
扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ ●活动一 回顾旧知，回顾数集的扩充过程
对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括 自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导） ●活动二 类比旧知，探究数系的扩充.
对于实系数一元二次方程x2?1?0，没有实数根，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
我们说，实系数一元二次方程x2?1?0没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.
我们引入一个新数i，它的平方等于－1 ●活动三 类比探究，研究新数i的运算性质
把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定： ① 虚数单位i的平方等于-1，即i2??1
②i的周期性：i4n?1?i，i4n?2??1，i4n?3??i，i4n?1(n?Z)
③ 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.
有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（?1可以开平方，而且?1的平方根是?i）. 问题探究二 复数的概念 重点、难点知识★▲ ●活动一 理解概念，复数的代数形式
怎样表示一个复数？
根据虚数单位的第③条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a?bi这样，数的范围又扩充了，出现了形如a?bi(a,b?R)的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，(其中a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部.
复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？ 对于复数a+bi(a，b∈R)， 当且仅当b=0时，它是实数; 当且仅当a=0且b=0时，它是实数0;
当b≠0时，叫做虚数;
当a=0且b≠0时，叫做纯虚数. ●活动二 剖析概念
复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？
不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部. 对于复数a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？
（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.） 任意两个实数可以比较大小，复数呢？
如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. ●活动三 完善知识体系
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？
虚数复数实数纯虚数 复数z=a?bi(a,b?R)包括：
?实数 (b=0)?复数z??一般虚数(b?0,a?0)
虚数 (b?0)???纯虚数(b?0,a?0)?●活动四 复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用
例1 实数m取什么值时z?m?1??m?1?i是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数? 【知识点：复数的概念，复数的代数形式，虚数、纯虚数的概念；数学思想：分类讨论】
详解：（1）当m?1?0，即m?1时，复数z是实数； (2)当m?1?0即m?1时，复数z是虚数；
(3)当m?1?0,m?1?0即m??1时，复数z是纯虚数.
点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考查.因为m?R，所以
?m?1??R,?由z?a?bi是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m的值. m?1??Rx2－x－6
例2 已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值.
x＋1【知识点：复数相等的充要条件】 x2－x－6?x＋1＝0.
详解：由复数相等的定义得?所以x＝3为所求.
点拨：本题考查复数相等的充要条件.对于复数a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)当且仅当a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.
例3 设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1＜z2，求实数m的取值范围.
【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】 详解：由于z1＜z2，m∈R，
∴z1∈R且z2∈R，当z1∈R时，m2＋m－2＝0， m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0， m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，符合题意，此时z1＝2，z2＝6，满足z1＜z2. ∴z1＜z2时，实数m的取值为m＝1.
点拨：本题考查对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.
问题探究三 复数的几何意义 重点、难点知识★▲ ●活动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义
若把a，b看成有序实数对（a，b），则（a，b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）
实数可以用数轴上的点来表示
一一对应实数轴上的点（几何模型）?????实数
?x2－2x－3＝0.
解得：x＝3（负值舍），
这里面体现的是“数”、“形”互换的思想.
任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定.因为有
人教课标版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的概念》教案-新版
