＝有
n！n！
＋. ?r＋1?！?n－r－1?！?r＋3?！?n－r－3?！211
＝＋，
?r＋1??n－r－1??n－r－1??n－r??r＋1??r＋2?
2
?r＋2??n－r－2?＝
11
＋，
?n－r－2??n－r－1??r＋2??r＋3?
化简整理得，n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0， n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0. 两式相减得，n＝2r＋3，
r＋1r＋2r＋3
于是Cr2r＋3，C2r＋3，C2r＋3，C2r＋3成等差数列．
r＋3r＋1r＋2而由二项式系数的性质可知Cr这与等差数列的性质2r＋3＝C2r＋3＜C2r＋3＝C2r＋3，
矛盾，从而要证明的结论成立．
5．已知An＝{x＞0|x＝k1·2＋k2·22＋…＋kn·2n}，其中n∈N*，n≥2，ki∈{－1,1}(i＝1，2，…，n)，记集合An的所有元素之和为Sn.
(1)求S2，S3的值； (2)求Sn.
解：(1)当n＝2时，A2＝{x＞0|x＝k1·2＋k2·22}＝{x＞0|x＝2k1＋4k2}＝{2,6}， 所以S2＝2＋6＝8.
当n＝3时，A3＝{x＞0|x＝k1·2＋k2·22＋k3·23}＝{x＞0|x＝2k1＋4k2＋8k3}＝{2,6,10,14}．
所以S3＝2＋6＋10＋14＝32.
(2)若kn＝－1，且k1＝k2＝…＝kn－1＝1，n≥2，n∈N*，
2?1－2n－1?则x＝2＋22＋…＋2n－1－2n＝－2n＝－2＜0，此时x?An.
1－2所以kn必然等于1，且当k1＝k2＝…＝kn－1＝－1，n≥2，n∈N*时，
2?1－2n－1?
x＝－2－22－…－2n－1＋2n＝－＋2n＝2＞0，此时x∈An.
1－2所以当kn＝1，k1，k2，…，kn－1∈{－1,1}，n≥2，n∈N*时，都有x∈An. 根据乘法原理知，使得ki＝1(i＝1,2,3，…，n－1，n≥2，n∈N*)的x共有2n－
2
个，使得ki＝－1(i＝1,2,3，…，n－1，n≥2，n∈N*)的x也共有2n－2个， 所以Sn中的所有ki·2i(i＝1,2,3，…，n－1，n≥2，n∈N*)项的和为0， 又因为使得kn＝1的x共有2n－1个， 所以Sn＝2n－1×2n＝22n－1.
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