课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
1?n?
2x＋1．记?的展开式中第m项的系数为bm. x???(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n.
1?n1?m－1n－m＋1??m－1n＋1－mm－1n2x＋????解：(1)的展开式中第m项为C·(2x)·＝2·Cn·xn
x???x?
＋2－2m，
－1. 所以bm＝2n＋1－m·Cmn
1?1?6－r??r
??＝26－r·(2)当n＝6时，?2x＋x?n的展开式的通项为Tr＋1＝Cr·(2x)·Crx6－66·x????
2r
.
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
3
故展开式中的常数项为T4＝23·C6＝160.
2323(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·Cn＝2·2n－3·Cn，从而Cn＝Cn，即n＝5.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1.等式(x2＋2x＋2)10＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋b20(x＋1)20，其中bi(i＝0,1,2，…，20)为实常数．
(1)求?b2n的值；
n＝11010
(2)求?anb2n的值．
n＝1
解：法一：(1)令x＝－1，得b0＝1，
令x＝0，得b0＋b1＋b2＋…＋b20＝210＝1 024，
令x＝－2，得b0－b1＋b2－b3＋…－b19＋b20＝210＝1 024， 所以?b2n＝b2＋b4＋b6＋…＋b20＝1 023.
n＝110
(2)对等式两边求导，得
20(x＋1)(x2＋2x＋2)9＝b1＋2b2(x＋1)＋3b3(x＋1)2＋…＋20b20(x＋1)19， 令x＝0，得b1＋2b2＋…＋20b20＝20×29＝10 240，
令x＝－2，得b1－2b2＋3b3－4b4＋…＋19b19－20b20＝－20×29＝－10 240， 1
所以?nb2n＝2(2b2＋4b4＋6b6＋…＋20b20)＝5 120.
n＝110
所以?anb2n＝? (n＋1)b2n＝?nb2n＋?b2n＝5 120＋1 023＝6 143.
n＝1
n＝1
n＝1
n＝1
10101010
法二：由二项式定理易知 (x2＋2x＋2)10＝[1＋(x＋1)2]10
12241020
＝C010＋C10(x＋1)＋C10(x＋1)＋…＋C10(x＋1)
＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋b20(x＋1)20，
n比较可知b2n＝C10(n＝1,2，…，10)．
10
11010(1)?b2n＝C10＋C210＋…＋C10＝2－1＝1 023. n＝1
(2)因为an＝n＋1, 所以?anb2n＝?
n＝110
10
(n＋1)Cn10＝
?
10
n
nC10＋
?Cn10，
n＝1
10
n＝1n＝1
0
设T＝?nCnC10＋1·C1C2C1010＝0·10＋2·10＋…＋10·10，T也可以写成
n＝1
10
0T＝?nCnC1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C10， 10＝0·
n＝1
10
相加得2T＝10·210，即T＝5·210，
所以?anb2n＝?
n＝1
1010
nnC10＋
210＋210－1＝6 143. ?Cn10＝5·
n＝1
10
n＝1
01122334
3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简C3C4＋C3C4＋C3C4＋C3C4.
【案例】考察恒等式(1＋x)5＝(1＋x)2(x＋1)3左右两边x2的系数．
122031223因为右边(1＋x)2(x＋1)3＝(C02＋C2x＋C2x)(C3x＋C3x＋C3x＋C3)， 1122322所以右边x2的系数为C02C3＋C2C3＋C2C3，而左边x的系数为C5， 112232所以C02C3＋C2C3＋C2C3＝C5.
n
22n－1n(2)求证：? (r＋1)2(Crn)－nC2n－2＝(n＋1)C2n.
r＝0
解：(1)考察恒等式(1＋x)7＝(1＋x)3(x＋1)4左右两边x3的系数．
12233041323因为右边(1＋x)3(x＋1)4＝(C0(C4x＋C4x＋C23＋C3x＋C3x＋C3x)·4x＋C4x＋
C44)，
1122334所以右边x3的系数为C03C4＋C3C4＋C3C4＋C3C4，
而左边x3的系数为C37，
11223343所以C03C4＋C3C4＋C3C4＋C3C4＝C7.
(2)证明：由
n
rCrn＝r·－1＝n·＝nCrn－1，
r！?n－r?！?r－1?！?n－r?！n
n
n
n！?n－1?！
可得? (r＋1)
r＝0
2
2
(Crn)＝
?
2
(rCrn)＋
?
2
2r(Crn)＋
2
? (Crn) r＝0
r＝0r＝0
＝n?
2
n
－12 (Crn－1)＋2n
?
n
－1Cr＋Crn－1·n
2
? (Crn). r＝0
n
r＝1r＝1
考察恒等式(1＋x)2n＝(1＋x)n(x＋1)n左右两边xn的系数．
1nnn1n－1n
因为右边(1＋x)n(x＋1)n＝(C0(C0＋…＋Cn)， n＋Cnx＋…＋Cnx)·nx＋Cnx
所以右边xn的系数为
2020江苏高考数学(文理通用)二轮培优新方案课后自测：理科附加题+第3讲 计数原理与二项式定理+Word版
