2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题及详细答案
一、二次函数
1．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函
2
数y=﹣x+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛
；（4）（，
）．
物线的解析式联立，得到方程组
，解方程组即可求出点M的坐标．
22
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x+4x=﹣（x﹣2）+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或
．
故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣×× =4+=
﹣；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b， ∵P的坐标为（2，4）， ∴4=×2+b，解得b=3， ∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，）．
，
∴点M的坐标为（，
考点：二次函数的综合题
2．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】(1) y=﹣x2+
34936x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是45菱形，此时点P的坐标为（【解析】
7251725，）或（，﹣）．
3363试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P（m，﹣析式为：y=﹣边的比得：
329m+m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解
44332x+3，表示PD=﹣m?3m，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应
44PED的周长PD9236=，代入得：L=﹣（m﹣2）+，求L的最大值即可；
BOC的周长BC55（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣
329n +n+3），则D（n，﹣4433n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论． 44试题解析:
（1）由OC=3OA，有C（0，3），
2
将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax+bx+c中，得：
?a?b?c?0??16a?4b?c?0， ?c?3?3?a???4?9?解得：?b?，
4??c?3??故抛物线的解析式为：y=﹣x2+（2）如图2，设P（m，﹣
349x+3； 4329m+m+3），△PFD的周长为L，
44∵直线BC经过B（4，0），C（0，3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则??4k?b?0
?b?33??k??解得：?4
??b?33x+3， 4332则D（m，﹣m?3），PD=﹣m?3m，
44∵PE⊥x轴，PE∥OC， ∴∠BDE=∠BCO， ∵∠BDE=∠PDF， ∴∠PDF=∠BCO， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD∽△BOC，
∴直线BC的解析式为：y=﹣∴
PED的周长PD=，
BOC的周长BC由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC的周长=12，
3?m2?3m∴L，
?41259236即L=﹣（m﹣2）+， 55∴当m=2时，L最大=
36； 5（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3， 当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD， 当点Q落在y轴上时，CQ∥PD， ∴∠PCQ=∠CPD， ∴∠PCD=∠CPD， ∴CD=PD， ∴CD=DP=PQ=QC， ∴四边形CDPQ是菱形， 过D作DG⊥y轴于点G， 设P（n，﹣
33293n +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣n?3）， 44443252n， n+3）﹣3]2+n2=164222
在Rt△CGD中，CD=CG+GD=[（﹣
而|PD|=|（﹣∵PD=CD， ∴﹣﹣
33293n?n?3 ?n?3）﹣（﹣n+3）|=|﹣n2+3n|，
4444325n?3n?n①， 44325n?3n??n②， 447或0（不符合条件，舍去）， 317或0（不符合条件，舍去）， 3解方程①得：n=解方程②得：n=当n=
7725时，P（，），如图3， 336
当n=
171725时，P（，﹣），如图4，
333
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