初中数学竞赛辅导资料（31）
勾股定理
甲内容提要 1.
勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠?a2＋b2=c2 2. 勾股定理及逆定理的应用
① 作已知线段a的2，3，
5……倍
② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。
3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个
正整数a,b,c叫做一组勾股数. 4. 勾股数的推算公式
① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。
k2?1k2?1② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
22
?K??K?③ 如果k是大于2的偶数，那么k, ???1,???1是一组勾股
?2??2?数。
④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。 5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：
3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。 乙例题
例1.已知线段a a
225a 2a 3a 5a
求作线段5a a
222分析一：5a＝5a＝4a?a 2a
∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
2分析二：5a＝9a?4a
2
∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略）
例2.四边形ABCD中∠DAB＝60?，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长 E解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30? ∴CE＝2CD＝4，
D在Rt△ABE中 2
设AB为x,则AE＝2x C 根据勾股定理
x2+52=(2x)2,
x2=
25 A 31B在Rt△ABC中，AC＝x?1＝
22252?1＝21 33A例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， D∠BDC＝2∠A＝∠C
∴AD＝BD＝BC M 作BM⊥AC于M，则CM＝DM B CAB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC
例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC
证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n
则c+n=b+m, c-b=m-n
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 A
AD2＝c2-m2=b2-n2
bc∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)
CB mDn(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求证：AC＞BD
证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF
作DH⊥AB于H，根据勾股定理 D
jCAH＝
AD2-DH2，FH＝DF2-DH2
∵AD＞BC，AD＞DF ∴AH＞FH，EH＞BH E AHFB222DE＝DH?EH，BD＝DH?BH
∴DE＞BD 即AC＞BD 例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝
2E D A
3H 求：b?a的值 F（2001年希望杯数学邀请赛，初二） 解：根据勾股定理 C G2 a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;①
31∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH ∴ 2ab= ②
3B① －②得 （a-b）2=
31 ∴b?a＝
33
丙练习31
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿ ④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿ 2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，
③8?15＝＿＿＿，④25-15＝＿＿＿
2222
3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。
那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿ 5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB， 且BD＝BF，CD＝CE E
A 求证：AE＝AF F
A(5) EFM B CC B D D
7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
**△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
A F
A (11) (12)E D F B EMCBC 13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100, 记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____ (1990年全国初中数学联赛题)
返回目录 参考答案
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初二下部分,共)-31
