课时作业54 抛物线
一.选择题
1.抛物线y＝2x的焦点坐标是( )
2
??A.?，0? 8?
?
1??0，C.?? ?8?
1
??B.?，0? 2?
?
1??0，D.?? ?2?
1
1?1?2
解析：抛物线的标准方程为x＝y，所以焦点坐标是?0，?.
2?8?答案：C
2.已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与曲线x＋y－4x－5＝0相切，则p的值为( )
2
2
2
A.2 C. 2
2
B.1 D. 1
4
12
解析：曲线的标准方程为(x－2)＋y＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，又抛物线pp
的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A.
22
答案：A
3.如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝( )
2
A.n＋10 C.2n＋10
2
B.n＋20 D.2n＋20
解析：由抛物线的方程y＝4x可知其焦点为(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.
答案：A
4.(2017·江西南昌一模)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )
2
A. C.3
8
3
B. D.2
52
解析：设l与x轴的交点为M，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以288
＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝，故选A. 333
答案：A
|NQ||PQ|
＝|MF||PF|
y1y22
5.已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的
x1x2
值一定等于( )
A.－4 C.p2
解析：方法1：若焦点弦AB⊥x轴， pp
则x1＝x2＝，所以x1x2＝；
24∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p， y1y2
∴＝－4. x1x2
2
2
B.4 D.－p2
p222
方法2：若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k(x－)，联立y＝2px得kx
2pkpy1y22
－(kp＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.所以y1y2＝－p.故＝－4.
44x1x2
2
22
2
答案：A
x
6.(2017·河北邯郸一模)已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，
2
→
→
2
过M作x轴的垂线，垂足为N，若MF·MN<0，则x0的取值范围是( )
A.(－1，0)∪(0，1) C.(0，1)
B.(－1，0) D.(－1，1)
?1?2
解析：由题意知曲线C为抛物线，其方程为x＝2y，所以F?0，?，根据题意可知，N(x0，0)，
?2?
→→→
11???1?x0≠0，MF＝?－x0，－y0?，MN＝(0，－y0)，所以MF·MN＝－y0?－y0?<0，即0 在抛物线上，所以有0<<，又x0≠0，解得－1 22 答案：A 二.填空题 xy 7.已知抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A.B两点，若△ABF 33 2 2 2 2 → 为等边三角形，则p＝________. 22xy?p，－p? 解析：由题意知B?，代入方程－＝1得p＝6. 2?33?3? 答案：6 8.(2017·沈阳第一次质检)已知抛物线x＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________. 解析： 2 23令l与y轴交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝2，所以AB＝.设P(x0，y0)， 323142 则|x0|＝，代入x＝4y中，则y0＝，故|PF|＝|PA|＝y0＋1＝. 333 4答案： 3 9.已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为____________. 解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＝2x1，y2＝2x2，两式相减得y1－y2＝2(x1 y1－y22 －x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝ x1－x2y1＋y20. 答案：x－y－1＝0 10.已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第|AF| 一.四象限分别交于A，B两点，则的值等于________. |BF| 2 2 2 2 2 2 解析：设|AF|＝m，|BF|＝n，则|BC|＝n，|AD|＝m，|AE|＝m－n，|AF|＋|BF|＝m＋n.在Rt△ABEm－nm|AF|中，由于∠BAE＝60°，所以cos60°＝，解得＝3，即的值等于3. m＋nn|BF| 答案：3 三.解答题 11.如图，已知抛物线y＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程. 2 解：设直线OA的方程为y＝kx，k≠0， 1 则直线OB的方程为y＝－x， k ??y＝kx，由?2 ?y＝2px，? 2p 得x＝0或x＝2. k ?2p2p?2 ∴A点坐标为?2，?，同理得B点坐标为(2pk，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8， ?kk? k＋1??4p24＝1， ①k可得???4p2k2k2＋1＝64， ②②÷①得k＝64，即k＝4. 则p＝ 2 6 2 2 k 2 164 ＝. 2 k＋15 25 又p>0，则p＝， 5 452 故所求抛物线方程为y＝x. 5 12.(2017·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M. 2 →→(1)求OA·OB； 322 (2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p，求直线AB的斜率k. 3x＝2py，??p 解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?p 2y＝kx＋，?2? ??x1＋x2＝2pk， －p＝0，则?2 ??x1·x2＝－p， 2 2 得x－2pkx 2 32 ∴OA·OB＝x1·x2＋y1·y2＝－p. 4 xx1x22 (2)由x＝2py，知y′＝，∴抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，，∴直线AM pppp?x1x21?的方程为y－y1＝(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝(x－x2)，则可得M?pk，－?.∴kMF＝－， 2?ppk?∴直线MF与AB相互垂直.由弦长公式知，|AB|＝k＋1|x1－x2|＝k＋1·4pk＋4p＝2p(k 2 2 22 2 2 →→ 1?1?四边形ACBD的面积S＝1·|AB|·|CD|＝2p2?2＋k2＋12?＋1)，用－代替k得，|CD|＝2p?2＋1?，?k?k2?k???＝ 3221322 p，解得k＝3或k＝，即k＝±3或k＝±. 333 1.(2017·广西质检)过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y＝4x相交于A，B两点，且|PA|1 ＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为( ) 2 2 A. C. 97 53 B. D.2 75 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线y＝－2的垂线，垂足分别为D，E.∵|PA| ??3x1＋2＝x2＋2，1 ＝|AB|，∴?2?3y1＝y2，? ??y1＝4x1， 又?2 ?y2＝4x2.? 2 2 得x1＝，则点A抛物线C的焦点的距离为 3 251＋＝. 33 答案：A 2.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y＝2px(p>0)上任意一点，M 2
高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业54(含答案)
