欢迎共阅
2、
性质：
1）???1??2，则
计算：——“一投二代三定号”
?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，z?z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在?上连续，则
???R(x,y,z)dxdy????DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy,?为上侧取“+”，?为下侧取“-”.
3、 其中?,两类曲面积分之间的关系：
?,?为有向曲面?在点(x,y,z)处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式 1、 则有 或
高斯公式：设空间闭区域?由分片光滑的闭曲面?所围成,?的方向取外侧,函数P,Q,R在?上有连续的一阶偏导数,
??P?Q?R????????x??y??z??dxdydz ????Pcos??Qcos??Rcos??dS ???通量与散度 2、
通量：向量场A?(P,Q,R)通过曲面?指定侧的通量为：??????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ??P?Q?R散度：divA? ???x?y?z（七） 斯托克斯公式 1、
斯托克斯公式：设光滑曲面?的边界?是分段光滑曲线,?的侧与?的正向符合右手法则,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在
包含?在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作: 2、
环流量与旋度 ?环流量：向量场A?(P,Q,R)沿着有向闭曲线?的环流量为?Pdx?Qdy?Rdz ????R?Q?P?R?Q?P?旋度：rot A????y??z, ?z??x, ?x??y?? ??第十二章无穷级数 （一） 常数项级数 1、
定义：
1）无穷级数：
?un?1?n?u1?u2?u3???un??
部分和：Sn??uk?u1?u2?u3???un，
k?1?nn正项级数：
?un?1，un?0
欢迎共阅
交错级数：
?(?1)n?1?nun，un?0
2）级数收敛：若limSnn???S存在，则称级数
?un?1?n收敛，否则称级数
?un?1?n发散
3）条件收敛：
?un?1n?n收敛，而
?un?1?n发散；
绝对收敛：
?un?1?收敛。
2、 1）
性质： 改变有限项不影响级数的收敛性； 2） 级数
?a，?bnn?1???n收敛，则n?1?(an?1?n?bn)收敛； 3） 级数
?an?1n收敛，则任意加括号后仍然收敛； 4） 3、
必要条件：级数审敛法 ?un?1?n收敛limun?0.（注意：不是充分条件！） ?n??正项级数：1）
?un?1?n，un?0 ?S存在； 定义：limSnn??2）
?un?1?n收敛??S?有界； n3） 比较审敛法：?un?1?n，?vn?1?n为正项级数，且un?vn (n?1,2,3,?) 发散. 若
?vn?1?n收敛，则?un?1?n收敛；若?un?1n?n发散，则?vn?1?n4）
比较法的推论：?u，?v为正项级数，若存在正整数m，当n?m时，un?kvn，而?v???nn收敛，则
n?1n?1n?1?un?1?n收敛；若存在正整数
m，当n?m时，un?kvn，而?vn发散，则?un发散.
n?1n?1??欢迎共阅
5）
比较法的极限形式：?un，?vn为正项级数，若limn??n?1n?1?????un?l (0?l???)，而?vn收敛，则?un收敛；若vnn?1n?1?unun???，而?vnlim?0或limn??vn??vn?1nn?发散，则
?un?1n发散.
6）
?un?1?l，则当l?1时，级数?un收敛；则当l比值法：?un为正项级数，设limn??un?1n?1n??1时，级数?un发散；
n?1?当
l?1时，级数?un可能收敛也可能发散.
n?17）
根值法：?un为正项级数，设limnun?l，则当l?1时，级数?un收敛；则当l?1时，级数?un发散；当l?1n?1???n??n?1n?1时，级数
?un?1?n可能收敛也可能发散. ??8）
极限审敛法：?un为正项级数，若limn?un?0或limn?un???，则级数?un发散；若存在p?1，使得
n?1n??n??n?1limn?un?l (0?l???)，则级数?un收敛. pn???n?1交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：任意项级数： ?(?1)nun，unn?1? ?0满足：un?1?un (n?1,2,3,?)，且limun?0，则级数?(?1)nun收敛。
?n??n?1?n?1?un绝对收敛，则?un?1?n收敛。 ? p?1?收敛， q?11??收敛，?；p-级数： ?aq ?p?n?1n?n?0 p?1 q?1??发散，?发散，?n常见典型级数：几何级数：?（二） 函数项级数 1、
定义：函数项级数?un?1?n(x)，收敛域，收敛半径，和函数； 2、 幂级数：?axnn?0?n 3、
收敛半径的求法：liman?1n??an?1??, 0??????? ??，则收敛半径R??0, ????????, ??0??4、 泰勒级数
展开步骤：（直接展开法） 1）
求出
f(n)(x), n?1,2,3,?；
欢迎共阅
2）
求出
f(n)(x0), n?0,1,2,?；
3） 写出
?n?0?f(n)(x0)(x?x0)n； n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1?0是否成立。
(n?1)!4）
验证limRn(x)?limn??n??间接展开法：（利用已知函数的展开式） 1）e?x?n!xn?0?1n, x?(??,??)；
2）sinx??(?1)n?1n?0?1x2n?1, x?(??,??)； (2n?1)!3）cosx??(?1)n?1n?0?12nx, x?(??,??)； (2n)!?14）??xn, x?(?1, 1)； 1?xn?0?1??(?1)nxn, x?(?1, 1) 1?xn?05）
(?1)nn?16）ln(1?x)??x, x?(?1, 1] n?0n?1?7）
?1??(?1)nx2n, x?(?1, 1) 21?xn?08）(1?x)m5、 1）
?1??m(m?1)?(m?n?1)nx, x?(?1, 1) n!n?1?傅里叶级数 定义： 正交系：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,?,sinnx,cosnx?函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[??, ?]上积分为零。 傅里叶级数：a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx) 2n?11??a??n????f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)系数：?
?1??b?f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)n??????2）
收敛定理：(展开定理)
设f(x)是周期为2?的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件: 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2)在一个周期内只有有限个极值点, 则f(x)的傅里叶级数收敛,且有 3）
傅里叶展开：
欢迎共阅
1??a??n????f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)①求出系数：?；
?1??b?f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)n??????②写出傅里叶级数
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)；
2n?1③根据收敛定理判定收敛性。
高等数学(下)知识点总结归纳
