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高等数学（下）知识点
主要公式总结
第八章空间解析几何与向量代数 1、
二次曲面
1）
x2y22??z椭圆锥面： a2b2x2y2z2x2y2z2?2?2?1旋转椭球面：2?2?2?1 椭球面：2aacabcx2y2z2x2y2z2?2?2?1双叶双曲面：2?2?2?1 单叶双曲面：2abcabcx2y2x2y2?2?z双曲抛物面（马鞍面）：2?2?z 椭圆抛物面：2abab2）
3）
4）
5）
x2y2x2y2?2?1双曲柱面：2?2?1 椭圆柱面：2abab2x?ay 抛物柱面：6）
（二） 平面及其方程 1、
点法式方程：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 法向量：n2、
??(A,B,C)，过点(x0,y0,z0) 一般式方程：Ax?By?Cz?D?0 xyz???1 截距式方程：abc3、
两平面的夹角：n1??(A1,B1,C1)，n2?(A2,B2,C2)，
A1B1C1??A2B2C2
??1??2?A1A2?B1B2?C1C2?0；?1//?2?4、
点
P0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：
（三） 空间直线及其方程 1、
??A1x?B1y?C1z?D1?0一般式方程：?
??A2x?B2y?C2z?D2?0
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2、
x?x0y?y0z?z0??对称式（点向式）方程：
mnp??(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)
方向向量：s3、
??s?(m,n,p)s两直线的夹角：1111，2?(m2,n2,p2)，
m1n1p1??m2n2p2
L1?L2?m1m2?n1n2?p1p2?0；L1//L2?4、
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
L//??Am?Bn?Cp?0；L???A?B?C mnp第九章多元函数微分法及其应用 1、 2、 连续：(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0) 偏导数： fx(x0,y0)?lim3、 方向导数： ?x?0f( x0??x,y0)?f( x0,y0)f(x0,y0??y)?f(x0,y0)f(x,y)?lim；y00 ?y?0?y?x?f?f?f?cos??cos??l?x?y4、 其中?,?为l的方向角。 ??梯度：z?f(x,y)，则gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j。 ?z?zdx?dy 全微分：设z?f(x,y)，则dz??x?y函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系： 5、 （一） 性质 1、 1 2 偏导数连续 充分条件 函数可微 必要条件 2 4 偏导数存在 定义 3 函数连续 2、 1）
微分法
复合函数求导：链式法则
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若
z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)，则
?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y（二） 应用
1）
??fx?0求函数z?f(x,y)的极值解方程组?求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令
??fy?0A?fxx(x0,y0)，B?fxy(x0,y0)，C?fyy(x0,y0)，
① 若② 若③ 若2、 1）
AC?B2?0，A?0，函数有极小值，若AC?B2?0，A?0，函数有极大值； AC?B2?0，函数没有极值； AC?B2?0，不定。 几何应用 曲线的切线与法平面 ?x?x(t)??曲线?:?y?y(t)，则?上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的 ???z?z(t)x?x0y?y0z?z0??切线方程为：x?(t0)y?(t0)z?(t0)法平面方程为：2） 曲面
x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0 曲面的切平面与法线 ?:F(x,y,z)?0，则?上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为： x?x0y?y0z?z0??法线方程为：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)第十章重积分 （一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积
1、 2、 1）
定义：
?f(???f(x,y)d??lim?D?0k?1nk,?k)??k
计算： 直角坐标
??(x)?y??2(x)?D??(x,y)1?，
a?x?b????f(x,y)dxdy??Dbadx??2(x)?1(x)f(x,y)dy
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d?2(y)??1(y)?x??2(y)?D??(x,y)?，??f(x,y)dxdy??cdy??1(y)f(x,y)dx
c?y?d??D2） 极坐标
??(?)????2(?)?D??(?,?)1?，
???????（二） 三重积分
??f(x,y)dxdy???d????D1(??2(?))f(?cos?,?sin?)?d?
1、 2、 1）
定义：
????f(x,y,z)dv?lim??0?f(?k?1nk,?k,?k)?vk
计算： 直角坐标 ????f(x,y,z)dv???dxdy?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz-------------“先一后二” ???2）
?f(x,y,z)dv??dz??abDZf(x,y,z)dxdy-------------“先二后一” 柱面坐标 ?x??cos????y??sin????z?z3）
球面坐标 （三） 应用 曲面
，????f(x,y,z)dv????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz ?S:z?f(x,y),(x,y)?D的面积： 第十一章曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 2、
定义：计算： ?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)??si ??0i?1n设
??x??(t),(??t??)，其中?(t),?(t)在f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为???y??(t),[?,?]上具有一阶连续导数，且??2(t)???2(t)?0，则
（二） 对坐标的曲线积分 1、
定义：设L为
xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P(x,y)，Q(x,y)在L上有界，定义
n?LP(x,y)dx?lim?P(?k,?k)?xk??0k?1，
?Q(??Q(x,y)dy?lim?L?0k?1nk,?k)?yk.
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向量形式：2、
?L?F?dr??P(x,y)dx?Q(x,y)dy
L计算：
设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为
??x??(t),22???(t),?(t)[?,?]?(t)??(t)?0，则 (t:???)，其中在上具有一阶连续导数，且???y??(t),3、
两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
??x??(t)L： ?，L上点(x,y)处的切向量的方向角为：?,???y??(t)，cos?，
cos????(t)??2(t)???2(t)L???(t)??2(t)???2(t)， 则
?LPdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds. 格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数, （三） 格林公式 1、
则有
??Q?P??????x??y??dxdy??Pdx?Qdy ?D?L2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数， 则
?Q?P??x?y?曲线积分?Pdx?Qdy在G内与路径无关 L（四） 对面积的曲面积分 1、 设
定义： ?为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在?上的一个有界函数， 定义2、
???f(x,y,z)dS?lim?f(?i,?i,?i)?Si ??0i?1n计算：———“一单二投三代入” ?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，则
（五） 对坐标的曲面积分 1、 设
定义：
?为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在?上的有界函数，定义
R(x,y,z)dxdy?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy同理，
??0i?1n??????P(x,y,z)dydz?lim?P(?i,?i,?i)(?Si)yz；??Q(x,y,z)dzdx?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)zx
??0i?1?nn??0i?1
高等数学（下）知识点总结归纳
