（新课标）届高考数学二轮专题复习第三部分讲重点解答题专练专题7选修4系列作业
37理
不等式选讲专练·作业(三十七)
1．(2015·贵州联考)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|. (1)当a＝3时，求不等式f(x)≥2的解集；
(2)若f(x)≥5－x对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 解析 (1)当a＝3时，即求解|2x－3|＋|x－1|≥2， 3
①当x≥时，2x－3＋x－1≥2，∴x≥2；
2
3
②当1 22 ③当x≤1时，3－2x＋1－x≥2，∴3x≤2，∴x≤. 32 综上，解集为{x|x≤或x≥2}． 3 (2)f(x)≥5－x恒成立，即|2x－a|≥5－x－|x－1|恒成立， ??6－2x，x≥1， 令g(x)＝5－x－|x－1|＝? ?4，x<1，? 则函数图像如图． ∴≥3，∴a≥6. 2 2．(2015·唐山模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|. (1)当a＝1时，解不等式f(x)<3； (2)若f(x)的最小值为1，求a的值． a?1?－x＋2，－1 3x，x≥，??2 且f(1)＝f(－1)＝3，所以f(x)<3的解集为{x|－1 －3x，x≤－1， a (2)|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|， 2222 1 / 4 aaa（新课标）届高考数学二轮专题复习第三部分讲重点解答题专练专题7选修4系列作业 37理 aa当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号． 22 所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0. 2 3．(2015·山西四校联考)设f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. (1)求f(x)≤x＋2的解集； |a＋1|－|2a－1| (2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围． |a|解析 (1)由f(x)≤x＋2，得 ax＋2≥0，?? ?x≤－1，??1－x－x－1≤x＋2，x＋2≥0，?? ?－1 解得0≤x≤2， a或 x＋2≥0，?? 或?x≥1，??x－1＋x＋1≤x＋2， 所以f(x)≤x＋2的解集为{x|0≤x≤2}． |a＋1|－|2a－1|1111 (2)||＝||1＋|－|2－||≤|1＋＋2－|＝3， |a|aaaa11 当且仅当(1＋)(2－)≤0时，取等号． a|a＋1|－|2a－1| 由不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立， |a|可得|x－1|＋|x＋1|≥3， 33 解得x≤－或x≥. 22 33 故实数x的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)． 224．(2015·九江模拟)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|. 1 (1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－； 2 (2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围． 1x≤2，?? 解析 (1)∵a＝2，∴f(x)＝|x－3|－|x－2|＝?5－2x2 ??－1x≥3. 2 / 4 （新课标）届高考数学二轮专题复习第三部分讲重点解答题专练专题7选修4系列作业 37理 x≤2，??1 ∴f(x)≤－等价于?1 21≤－，?2? 2 或?1 5－2x≤－，?2? x≥3，?? 或?1 －1≤－.?2? 1111 解得≤x<3或x≥3，∴不等式的解集为{x|x≥}． 44 (2)由不等式性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|， 3 ∴若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，∴实数a的取 23 值范围是(－∞，]． 2 5．(2015·南宁检测)已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值； (2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)． 解析 (1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a. ∵－m＋a＝－1，m＋a＝5， ∴a＝2，m＝3. (2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|. 当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)； 当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋， 22∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋； 22 当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t<2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)． ∴当0≤t<2时原不等式的解集为(－∞，＋1]；当t＝2时x∈[2，＋∞)． 26．(2015·云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x＋1|－|2－x|≤a≤|x＋1|＋|2－x|都成立． (1)求a的值； (2)设m>n>0，求证：2m＋ 1 ≥2n＋a. m－2mn＋n2 2 ttttt－3，x≤－1，?? 解析 (1)设f(x)＝|x＋1|－|2－x|，则f(x)＝?2x－1，－1 ??3，x≥2，∴f(x)的最大值为3. ∵对任意实数x，|x＋1|－|2－x|≤a都成立，即f(x)≤a， 3 / 4
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