【解析】∵sinx－siny＝－
22，cosx－cosy＝，两式相加得：sinx＋cosx＝siny＋cosy， 33∴sin2x＝sin2y.又∵x、y均为锐角， ∴2x＝π－2y，∴x＋y＝
?，∴sin(x＋y)＝1. 2310102?,)，与单位圆交于点(且a nt(?)???．101056【变式2】（2016 江苏模拟）已知角α终边逆时针旋转（1）求sin(2??（2）求tan(2???6)的值， )的值．
?3【答案】（1）33?417；（2） 1014431010?,)， 与单位圆交于点(10106【解析】（1）角α终边逆时针旋转
可得sin(???6)?10?310,cos(??)? 10610???103103sin(2??)?2sin(??)cos(??)?2???，
36610105?31024cos(2??)?2?()?1?．
3105sin(2??)?sin(2???)?sin(2??)cos?sincos(2??) 6363663334133?4????? 525210（2）∵tan(???)????????2， 522tan(???)5?20． ∴tan(2??2?)??1?tan2(???)1?(2)2215?3?4?3?2??),co?s?(2?),?ta?n(2?． ) sin(3535342?tan(2??2?)?tan(2??)?(2??)]
333??(tan2??)3?20 ?43?1??tan(2??)2143?17解得tan(2??)?．
3144??类型四：三角恒等变换的综合应用
【高清栏目：简单的三角恒等变换401793 例2】 例5．求函数y?sinx?cosx?sinxcosx；x?[?3?,]的值域 44cos【思路点拨】设sinx?cosx?t，则sinx最值．
【解析】 设sinx?cosx?t,x??t2?1x?，然后把y转化为关于t的二次函数，利用配方法求y的
2??3?,?? 4?4? ?t?又
2(22?sinx?cosx)?2sin(x?) 224?3?? 0,2??x??，??x???，?t????44242t2?1又1?2sinxcosx?t，?sinxcosx?
2t2?111??t2?t? 则y?t?2221(t?1)2?1 21当t?0时，ymin?
2 =?当t?1时，ymax?1
?1??y??,1?
?2?【总结升华】本题给出了sin??cos?,sin??cos?及sin?cos?三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了sin举一反三：
2??cos2??1这个隐含条件．
2【变式1】（2015 安徽模拟）已知函数f(x)?acosx?sinxcosx(x?R)的图象经过点M(常数a∈R．
（1）求a的值及函数f（x）的最小正周期T；
（2）当x?[?1,)，其中82?3?84,]时，求函数f（x）的最值及相应的x值．
【思路点拨】首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求周期及最值． 【答案】（1）π；（2）当2x?当2x??4??，即x?1?23?时，f(x)min?；
287?3?，即x?时，f(x)max?1
444cos2x?11a1a?1?sin2x?cos2x?sin2x?由函数f（x）的图象经过点M(,)【解析】（1）f(x)?a2222282??知道f(?)?182，即a2cos?4?1?a12sin4?2?2，解得a=1． ∴f(x)?112cos2x?2sin2x?12?22cos(2x??4)?12， ∴T?2?2??． （2）当x?[?3???7?8,4]时，2x?4?[2,4]，
∴当2x??4??，即x?3?8时，f(x)1?2min?2；
当2x???4?74，即x?3?4时，f(x)max?1． 【巩固练习】
1．sin15cos15的值是（ ）
A.
14 B.
12 C.334 D.
2 2．已知x∈(－
?2,0),cosx?45，则tan2x等于( ) A.724 B.?724 C.247 D.?247
3．若cos(???)?45，?是第二象限角，则sin(???3)等于（ ）
A.
3 35 B. ?5
C.
3?4310 D.
3?4310 4．若?2π
A.sin?2 B.cos?2 C.?sin?2
D.?cos?2
5．3?sin702?cos210?( ) A.12 B.22 C．2 D.32
6．（2015 乌鲁木齐模拟）若函数f(x)?cos2x?asinx在区间(?,?62)上是减函数，则a的取值范围是（A．（2，4） B．（－∞，2] C．（－∞，4] D．[4，+∞） 7．设函数f(x)?sin??2x????4???cos???2x???4??，则（ ） A．y?f(x)在???0,??2??上单调递增，其图象关于直线x??4对称 ）
B．y?f(x)在?0,?????上单调递增，其图象关于直线x?对称
2?2?????上单调递减，其图象关于直线对称 x??24??????上单调递减，其图象关于直线对称 x??2?2?C．y?f(x)在?0,D．y?f(x)在?0,8．（2017 河南安阳模拟）已知当x=θ时，函数f（x）=2sinx－cosx取得最大值，则sin2θ=（ ）
3344 B． C．? D．?
55551?9．已知sinx?,则sin2(?x)= ．
34A．10．已知???3????,??，sin??，则tan(??)等于 ．
54?2?11，sin??cos??，则sin(???)?________． 32211．已知sin??cos??12．（2015秋 上海普陀区月考）函数y?2?2sin?x的最小正周期为π，则实数ω的值为________． 13．（2017 东城区月考）已知－π＜x＜0，sinx?cosx?（1）求sinx－cosx的值；
1． 5xxxx?2sincos?cos22222的值． （2）求
1tanx?tanx5114．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
533sin2(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
15．（2015秋 甘肃期中）已知函数f(x)?3sin(2x?（1）求函数f（x）的周期及增区间； （2）若??6)?2sin2(x??12)．
?12?x??3，求函数f（x）的值域．
【答案与解析】 1．【答案】A 2．【答案】D 【解析】∵ x∈(??，0) 24 53∴ tanx??
4又∵ cosx?故选D.
352tanx24∴ tanx. 2???21?tanx7∴ sinx??
巧思妙解析：解法一：由题设得sinx??
353424)×=－ 552547cos2x?2?()2?1?
525sin2x24故tan2x???.
cos2x7则sin2x?2×(－
解法二：由题设得cos2x?2?()?1?又∵ ???2x?0 ∴ ?4527 25?2∴ tanx2? 022?2x?0
1576 ?1?cos22x49又tan2x?sec2x?1?∴ tan2x??3．【答案】C
4．【答案】D
24. 71?cos(???)1?cos???【解析】22∵ ?2?????∴ 原式??cos5．【答案】C 【解析】原式?1?2cos22?2?1?cos2?2
3??3??，∴ ?????，∴ cos?0 2242
?23?sin706?2sin70??2，故选C.
1?cos203?sin702?226．【答案】B
【解析】∵由f(x)?cos2x?asinx??2sinx?asinx?1， 令t?sinx，
则原函数化为y??2t?at?1． ∵ x?(2,)时f(x)为减函数，
6212则y??2t?at?1在t?(,1)上为减函数，
2??
高中数学必修四 简单的三角恒等变换（最全提纲）巩固练习
