构造函数,巧解导数问题

构造函数,巧解导数问题

周根虎

【期刊名称】《高中数理化》 【年(卷),期】2015(000)009 【总页数】2页(P20-21) 【作 者】周根虎

【作者单位】甘肃省静宁县仁大中学 【正文语种】中 文 【中图分类】教科文艺

· 重点辅导 · 失败也是我需要的， 它和成功对我一样有价值， 只有在我知道一切做不好的方法以后，我才能知道做好一件工作的方法是什么．— — —爱迪生ｄ ＝ ｜ ｎ · →

Ｐ Ｑ ｜ ｜ ｎ ｜ ＝ ｜ ｘ － ｘ ０＋ Ｂ （ ｙ － ｙ ０） ／

Ａ ｜１ ＋ Ｂ ２ ／ Ａ 槡２ ＝｜ Ａ （ ｘ － ｘ ０） ＋ Ｂ （ ｙ － ｙ ０） ｜Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２．因为Ｐ点在直线 ｌ上， 所以Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ＝ ０ ， 从而ｄ ＝ ｜ Ａ ｘ ＋ Ｂ ｙ －Ａ ｘ ０－ Ｂ ｙ ０ ｜＝ ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜ Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２６ 柯西不等式法点 Ｐ到直线 ｌ上任意一点Ｑ（ ｘ ， ｙ ） 的距离的最小 值就是点 Ｐ到直线 ｌ的距离． 由柯西不等式知 （Ａ ２＋ Ｂ ２） ［ （ ｘ － ｘ ０） ２＋（ ｙ － ｙ ０） ２］ ≥［ Ａ （ ｘ － ｘ ０） ＋ Ｂ （ ｙ － ｙ ０） ］ ２＝（ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ） ２．因为 Ａ ｘ ＋ Ｂ ｙ ＋ Ｃ ＝ ０ ， 所以（ｘ － ｘ ０） ２＋（ ｙ － ｙ ０）槡２ ≥ ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ

ｙ ０＋ Ｃ ｜ Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２当且仅当 Ａ （ ｙ － ｙ ０） ＝Ｂ （ ｘ － ｘ ０） 时取等号， 所以最小值ｄ ＝ ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜以上 可 以 验 证， 当 Ａ＝０ 或 Ｂ＝０ 时， 公 式 ｄ＝｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜ Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２也成立．从以上６种推导方法， 我们可以看到思路是围绕 着问题而产生的： 点到直线的距离的 定 义， 解 直 角 三 角形， 直线外一点与直线上一点所连的线段中垂线段 最短， 向量的数量积等成为推导点到直线距离公式的 重要依据． 它们是与点到直线距离相 关 的 内 容， 因 而 能够用来解决问题． 另外， ２点间距离公式推导过程中 构造直角三角形等思想也有启示作用． 已有的知识和 经验成为解决问题的基础．从以上探究， 我们进一步看到求点到直线的距离 的过程正是我们把新问题转化为熟悉问题的过程： 方 法１中问题转化为２点间的距离， 方法２转化为解直 角三角形的问题， 方法３转化为求三角形的高， 方法４ 转化为求函数的最小值， 方法 ５ 转化 为 求 数 量 积， 方 法６转化为利用不等式求最值． 正是因为这些转化思 想促进了问题的解决， 形成了不同的解题策略． 本文通过对点到直线的距离公式推导的探讨， 对 解决这个问题的各种想法是怎样形成的进行了分析， 揭示解法背后的思想将有助于同学们思维能力 的 提 高，公式推导的探究过程有助于同学们领会从特殊到 一般、 转化与化归、 分类与 整 合、 数 形 结 合、 函 数 与 方 程等数学思想． 这也正是笔者期望达到的目的． （作者单位： 福建省邵武市第一中学）◇ 甘肃 周根虎 根据以往的解题经验可知， 通 过 构 造 函 数， 灵 活 利用函数的图象、 性质 解 题， 往 往 比 较 简 洁． 那 么， 在 导数 问 题 中， 应 如 何 构 造 函 数 呢？ 请 看 以 下 归 类 解析．１ 移项作差若目标问题是求解与抽象函数有关的不等式， 且 题设给出导数不等式， 则往往需要通过移项作差构造 函数， 以便利用函数的单调性解题．例１ 已知函数ｆ （ ｘ ） 的定义域为 Ｒ， ｆ （ － １ ） ＝ ２ ， 对任意ｘ ∈Ｒ， ｆ ′ （ ｘ ） ＞ ２ ， 则不等式ｆ （ ｘ ） ＞ ２ ｘ ＋ ４的解 集为（ ） ．Ａ （ － １ ， １ ） ；

Ｂ （ － １ ， ＋∞） ； Ｃ （ －∞， － １ ） ； Ｄ （ －∞， ＋∞） 分析 因所解不等式为ｆ （ ｘ ） ＞ ２ ｘ ＋ ４ ， 即 ｆ （ ｘ ） －２ｘ － ４ ＞ ０ ， 从而可构造函数ｇ （ ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ） － ２ ｘ － ４ ， 结合题设条件灵活求解．解 构 造 函 数 ｇ（ ｘ ） ＝ｆ（ ｘ ） －２ ｘ－４ ， 则 根 据ｆ ′ （ ｘ ） ＞ ２知ｇ ′ （ ｘ ） ＝ ｆ ′ （ ｘ ） － ２ ＞ ０ ， 所以ｇ （ ｘ ） 在 Ｒ 上是单调增函数．由ｆ （ － １ ） ＝ ２知ｇ （ － １ ） ＝ ｆ （ － １ ） － ２ ＝ ０ ， 所以 原不等式可转化为ｇ （ ｘ ） ＞ ｇ （ － １ ） ， 又由ｇ （ ｘ ） 在 Ｒ 上 是单调 递 增 的， 得 ｘ ＞ －１ ，所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 （－ １ ， ＋∞） ． 故选 Ｂ ．本题构造函数之后， 需要先利用导数研究函 数的单调性， 再利用所得函数的单调性求解 不等式．２ 考虑导数运算法则若题设中出现与导数有关的不等式， 则往往很可 能是根据导数的运算法则计算后而设计的， 所以我们 应多从这个角度考虑如何构造函数， 以便顺利解决目 标问题．例２ 已知ｆ （ ｘ ） 是定义在（ ０ ， ＋∞） 上的可导函数，且满足ｘ ｆ ′ （ ｘ ） － ｆ （ ｘ ） ＜ ０ ， 则一定有（ ） ．Ａ ２ ｆ （ １ ０ ０ ８ ） ＞ ｆ （ ２ ０ １ ６ ） ；０ ２——爱迪生

ＰＱ｜ｎ＝ ｜ｘ － ｘ ０＋ Ｂ （ ｙ －

ｙ ０） ／ Ａ ｜１ ＋ Ｂ／Ａ＝Ａ （ｘ － ｘ ０） ＋ Ｂ （ ｙ － ｙ ０） ｜２＋ Ｂｘ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜点 Ｐ到直线 ｌ上任意一点Ｑ（ ｘ ， ｙ ） 的距离的最小值就是点 Ｐ到直线 ｌ的距离． 由柯西不等式知２）［ｘ － ｘ ０） ２＋（ ｙ － ｙ ０） ２］ ≥ｘ － ｘ ０） ＋ Ｂ （ ｙ － ｙ ０） ］ ２＝（ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ） ２．≥ ｜从以上６种推导方法， 我们可以看到思路是围绕着问题而产生的： 点到直线的距离的 定 义， 解 直 角 三角形， 直线外一点与直线上一点所连的线段中垂线段最短， 向量的数量积等成为推导点到直线距离公式的重要依据． 它们是与点到直线距离相 关 的 内 容， 因 而能够用来解决问题． 另外， ２点间距离公式推导过程中构造直角三角形等思想也有启示作用． 已有的知识和经