最新全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案汇总

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学

一试题及答案

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2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案

一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线

上）

（1）曲线y=lnx上与直线?Skip Record If...?垂直的切线方程为 ?Skip Record If...?. 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由?Skip Record If...?，得x=1, 可见切点为?Skip Record If...?，于是所求的切线方程为

?Skip Record If...?， 即 ?Skip Record If...?.

【评注】 本题也可先设切点为?Skip Record If...?，曲线y=lnx过此切点的导数为?Skip Record If...?，得?Skip Record If...?，由此可知所求切线方程为?Skip Record If...?， 即 ?Skip Record If...?.

（2）已知?Skip Record If...?，且f(1)=0, 则f(x)= ?Skip Record If...? . 【分析】 先求出?Skip Record If...?的表达式，再积分即可。 【详解】 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，于是有 ?Skip Record If...?， 即 ?Skip Record If...?

积分得 ?Skip Record If...?. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= ?Skip Record If...?.

（3）设?Skip Record If...?为正向圆周?Skip Record If...?在第一象限中的部分，则曲线积分?Skip Record If...?的值为 ?Skip Record If...? .

【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

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【详解】 正向圆周?Skip Record If...?在第一象限中的部分，可表示为 ?Skip Record If...? 于是 ?Skip Record If...? =?Skip Record If...?

（4）欧拉方程?Skip Record If...??Skip Record If...?的通解为 ?Skip Record If...?.

【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换?Skip Record If...?化为常系数线性齐次微分方程即可。

【详解】 令?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 代入原方程，整理得

?Skip Record If...?，

解此方程，得通解为 ?Skip Record If...?

【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令?Skip Record If...?，则欧拉方程

?Skip Record If...?， 可化为 ?Skip Record If...?

（5）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵B满足?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则?Skip Record If...? ?Skip Record If...? .

【分析】 可先用公式?Skip Record If...?进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A，得

?Skip Record If...?， 而?Skip Record If...?，于是有 ?Skip Record If...?， 即 ?Skip Record If...?，

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再两边取行列式，有 ?Skip Record If...??Skip Record If...?， 而 ?Skip Record If...?，故所求行列式为?Skip Record If...?

（6）设随机变量X服从参数为?Skip Record If...?的指数分布，则?Skip Record If...?= ?Skip Record If...? .

【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。

【详解】 由题设，知?Skip Record If...?，于是 ?Skip Record If...?=?Skip Record If...? =?Skip Record If...?

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把?Skip Record If...?时的无穷小量?Skip Record If...?，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A) ?Skip Record If...?. (B) ?Skip Record If...?. (C) ?Skip Record If...?. (D) ?Skip Record If...?. [ B ]

【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可. 【详解】 ?Skip Record If...?，可排除(C),(D)选项， 又 ?Skip Record If...?

=?Skip Record If...?，可见?Skip Record If...?是比?Skip Record If...?低阶的无穷小量，故应选(B).

（8）设函数f(x)连续，且?Skip Record If...?则存在?Skip Record If...?，使得 (A) f(x)在（0，?Skip Record If...?内单调增加. （B）f(x)在?Skip Record If...?内单调减少.

(C) 对任意的?Skip Record If...?有f(x)>f(0) . (D) 对任意的?Skip Record

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【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。

【详解】 由导数的定义，知 ?Skip Record If...?，

根据保号性，知存在?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，有 ?Skip Record If...?

即当?Skip Record If...?时，f(x)f(0). 故应选(C).

（9）设?Skip Record If...?为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若?Skip Record If...?=0，则级数?Skip Record If...?收敛.

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f...?有

f(x)>f(0)

. [ C

]