4-1-5.奇妙的一笔画
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：
(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；
(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：
我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成．
知识点拨
例题精讲
模块一、判断奇偶点
【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些
点是偶点？哪些点是奇点？
AEJBHIOFDGC
【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，
要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.
【例 3】 判断下列图a、图b、图c能否一笔画．
NABKCFELM
AFAOBDBGEC图aD图bC图cD
【例 4】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？
（1）（2）（3）
【例 5】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
【例 6】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进
口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？
【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果
能，应从哪开始走？
EADBC
【例 7】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？
该怎样爬？
甲
乙
【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？
【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？
IAFBEHG
【例 10】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？
CD
【例 11】 观察下面的图，看各至少用几笔画成？
ABCD（1）HGFE（2）
（3）
【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最
多能走多少米？
【例 13】 有16个点排成的4?4方阵。如图，请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点
【例 14】 一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条
棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？
DAEBFGCH
【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱
不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？
A
模块二、调整奇偶点变一笔画
【例 15】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可
一笔画的图形．
ABHIAGFGABIKHJLFEEFBGCDHC图aDEC图bD图c
【例 16】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从
入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就可以办到？
【例 17】 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．
EA D
GH
BC F
【例 18】 如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十
字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A处进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用 分．
A
【例 19】 某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道
都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是 ．
【例 20】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两
条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？
【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一
次不重复地走遍这七座桥？
【例 21】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，
要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？
小学奥数 奇妙的一笔画 精选例题练习习题（含知识点拨）
