导数中涉及“ex，lnx”的几种模型
作者：黄旭东
来源：《高中生学习·高二版》2017年第04期
在历年的导数考题中，常涉及[ex，lnx]等指、对数形式. 在求导运算过程中，出现[ex]与含[x]多项式或[lnx]与含[x]多项式混杂情形，导致后续讨论的复杂化. 笔者经仔细研究近几年全国卷试题，发现此类问题可通过化归变成几种模型，再求解. 现整理如下，供参考. [g（x）+h（x）ex或g（x）+h（x）e-x]化归成[f（x）ex或f（x）e-x] 例1 已知函数[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2]有两个零点，求a的取值范围.
解析 由函数有两零点，且显然[x=1]不为零点得，即[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0]，则有[（x-2）ex（x-1）2=-a]. 记[]，
则[g（x）=（x-1）3ex-2（x-1）（x-2）ex（x-1）4=（x-2）2+1ex（x-1）3]. 则[x∈1，+∞， g（x）>0， g（x）]为增函数； [x∈-∞，1， g（x）
且[x→1， g（x）→-∞； x→-∞， g（x）→0]. 由[x
又直线[y=-a]与函数[y=g（x）]有两交点， 故[-a0.]
点评 此题的官方标准答案是直接求导进行讨论，讨论过程相当复杂；而本题通过转换函数的形式，化归成[f（x）ex]型的函数，则变得相当简洁. 一般地，由于[f（x）ex′=f（x）+f（x）ex]，[f（x）e-x′=f（x）-f（x）e-x]，其中[f（x）]为多项式函数，其导数脱离了多项式与[ex， e-x]的纠缠，大大简化了计算，涉及此类问题的恒成立、存在性问题与零点问题，转化成此种形式，不失为一种有效方法.
[h（x）+g（x）lnf（x）]化归成[lnf（x）+k（x）]
例2 已知函数[f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）].
（1）當[a=4]时，求曲线[y=f（x）在1，f（1）]处的切线方程； （2）当[x∈1，+∞]时，[f（x）>0]，求[a]的取值范围. 解析 （1）略.
（2）由[f（x）>0]得，
[（x+1）lnx-a（x-1）>0?lnx-a（x-1）x+1>0，x>1]. 记[g（x）=lnx-a（x-1）x+1>0，x∈1，+∞]， 故只需[g（x）>0.]
则[g（x）=1x-2ax+12=x2+21-ax+1xx+12] [=x-a-12+2a-a2xx+12，x∈1，+∞]. 记[h（x）=x-a-12+2a-a2]. ①当[a≤2]时，
则[a-1≤1，h（x）为增函数.]
[则g（x）=h（x）xx+12≥h（1）xx+12=4-2axx+12≥0]. 故[g（x）]在[（1，+∞）]上为增函数，则[g（x）>g（1）=0]. 故[lnx-a（x-1）x+1>0]成立. ②当[a>2]时，
[g（x）=x2+21-ax+1xx+12=x-a-1+a2-2a?x-a-1-a2-2axx+12.] 又[a-1-a2-2a=1a-1+a2-2a [a-1+a2-2a>1]，
则[x∈1，a-1+a2-2a，g（x）
[则g（x）g（1）=0]恒成立相矛盾. 综上所述，[a∈-∞，2， f（x）>0].
点评 对形如[h（x）+g（x）lnf（x）]结构的函数（其中[h（x），g（x），f（x）]为多项式函数），由于求导过程中[lnx]与多项式函数不能分开，特别是含参数时，问题的讨论将变得十分复杂. 而除以[g（x）]化归成“[lnf（x）+k（x）]”型后，由[lnf（x）+k（x）′=f（x）f（x）+k（x）]，则其导数只含多项式函数，大大简化运算！ “[ex+g（x）lnf（x）]”混合型，指对数分离最值化归
例3 设函数[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲线[y=f（x）]在点（1，[f（1）]）处的切线为[y=e（x-1）+2].
（1）求[a，b]； （2）证明：[f（x）>1].
解析 （1）[a=1，b=2]（过程略）. （2）[f（x）=exlnx+2ex>1] [?xlnx+2e>xe-x，][x∈0，+∞.] 记[g（x）=xlnx+2e，x>0，] 则[g（x）=1+lnx，x>0.] 故[x∈0，1e，g（x）
[x∈1e，+∞，g（x）>0，g（x）]为增函数. 故[g（x）min=g1e=1e]. 又记[h（x）=xe-x，x>0]， 则[h（x）=1-xe-x，x>0].
故[x∈0，1，h（x）>0，h（x）为增函数；] [x∈1，+∞，h（x）
导数中涉及“ex,lnx”的几种模型
