方法二 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.
纵观近几年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求学生有较强转化与化归意识、严谨治学态度和准确的计算能力.从实际教学来看，换元法是学生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是学生没有真正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现换元法的类型与相关题型作以总结和方法的探讨.学…
换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型： 1、局部换元
局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现. 1.1对于形如
的值域（最值）问题，令
，化为一元二次
函数在某个区间上的值域（最值）问题处理.
例1．【2018届湖南省岳阳县第一中学高三上学期第一次月考】设函数
，
（1）求的值； （2）已知（3）若
，函数
，试问是否存在正整数，使得
，
，求对
的值域；
恒成立？若存在，
是定义域为R上的奇函数．
请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】试题分析： 试题解析：（1）先利用先由
得
为上的奇函数得
的单调性，再对
求出以及函数
的表达式，（2）
表示
，得出函数进行整理，整理为用的值域．
的函数，最后利用函数的单调性以及值域，得到
（3）利用换元法，将不等式转化为对勾函数问题求解，注意分类讨论思想的应用．
（3）
=
，
，
，
假设存在满足条件的正整数，则①当
时，
．
②当时，，则，令，则，易证在
上是增函数，∴．
③当时，，则，令，则，易证在
上是减函数，∴综上所述，
．
，∵是正整数，∴=3或4．
对
恒成立．
∴存在正整数=3或4，使得
1.2、分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；
例2．【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数（1）求证：函数（2）设表达式；
（3）若关于的不等式围．
在
是偶函数；
在
．
，求关于的函数时的值域的
时恒成立，求实数的取值范
【答案】（1）见解析（2）（3）．
判断其与
的关，转化为二
【解析】试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算系； （2）令
，故
，换元得
，得
次函数，分类讨论求其最值即可；（3））由，
即
试题解析： （1）函数所以，函数（2）令
原函数可化为
，因为
，所以，
的定义域为是偶函数．
，对任意
恒成立，求其最值即可.
，，
，
，故
，
图像的对称轴为直线
，
；
时是增函数，值
，
当当域为
时，函数时，函数
．
在在
时是增函数，值域为时是减函数，在
高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.2换元法讲理
