6．（2024?陕西）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．
7．（2024?赤峰）如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E． （1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
能力提升
8．（2024?烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝则?AC的长为（ ）
，CE＝3，
6
A．23 3B．3π 3C．3π 2D．23π 39．（2024?贺州）如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是（ ）
A．23 B．2
C．33 D．43 10．（2024?齐齐哈尔）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
11．（2024?黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝2，求弦AC的长．
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第23课 圆的证明课前小测
1．A． 2．A． 3．60°． 4．C． 5．C．
经典回顾
考点一 圆的位置关系 【例1】B．
考点二 切线的性质与判定 【例2】（1）证明：连接OC，
∵OE∥AC，
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∴∠1＝∠ACB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∴∠DBE＝∠DCE， 又∵OC＝OB， ∴∠OBE＝∠OCE， 即∠DBO＝∠OCD，
∵DB为⊙O的切线，OB是半径， ∴∠DBO＝90°， ∴∠OCD＝∠DBO＝90°， 即OC⊥DC， ∵OC是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°， ∴∠3＝60°，又OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠COF＝60°，
在Rt△COF中，tan∠COF＝CFOC， ∴CF＝43． 对应训练 1．C． 2．D． 3．D． 4．76．
5．解：（1）连接DN，ON
9
∵⊙O的半径为52， ∴CD＝5
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝5， ∴AB＝10， ∴BC＝102?62＝8 ∵CD为直径
∴∠CND＝90°，且BD＝CD ∴BN＝NC＝4
（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝12AB， ∴∠BCD＝∠B， ∵OC＝ON， ∴∠BCD＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠B， ∴ON∥AB， ∵NE⊥AB， ∴ON⊥NE， ∴NE为⊙O的切线．
中考冲刺
夯实基础 1．B．
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2024年中考数学第一轮复习专题 第23课 圆的证明（含答案）
