高考原创押题卷（三）
数学(理科)
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{y|y＝x}，N＝{x|x＋y＝1}，则M∩N＝( )
2
2
A.??
??2??2??22??22??
，?? B.??－，－?，?，?? 2??2??22????2??2
C.(－1，1) D．[－1，1]
?ab??iz?
2．若定义运算??＝ad－bc，则满足??＝－2的复数z是( )
?cd??－1z?
A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i 3．下列函数中，既是奇函数又零点个数最多的是( )
13
A．y＝－x－1，x∈R B．y＝x＋，x∈R，且x≠0
xC．y＝－x－x，x∈R D．y＝－x(x－1)，x∈R，且x≠0
3
3
2
图3-1
4．如图3-1所示，三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱长和底边各边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为( )
A.3 B．23 C.2 D．22 5．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：
观测次第i 观测数据ai 1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48 在上述数据的统计分析中，一部分计算见如图3-2所示的程序框图(其中a是这8个观测数据的平均数)，则输出S的值是( )
图3-2
A．7 B．9 C．11 D．13 6．如果n为正奇数，那么7＋Cn·7
n
1
n－1
＋…＋Cn·7被3除所得的余数为( )
n－1
A．0 B．1 C．2 D．不确定
?0≤x≤π，?0≤x≤π，
7．在平面直角坐标系内，区域M满足?区域N满足?则向区域M内投一
?0≤y≤1，?0≤y≤sin x，
点，落在区域N内的概率是( )
2π2πA. B. C．2－ D．2－ π4π4
→→8．已知空间四面体ABCD的体积是V，点O是该四面体内的一点，且满足OA＋(2－1)OB＋sin α
?π?→→
OC＋cos αOD＝0，其中变量α∈?0，?，则下列判断正确的是( )
2??
2－2V
A．VO-ACD 的最大值为V B．VO-ABD和VO-ABC的最大值均为
4412
C．VO-ABD＋VO-ABC的最大值为V D．VO-BCD的最大值为V
24
9．已知方程(m－1)x＋(3－m)y＝(m－1)(3－m)表示焦距为8的双曲线，则m 的值为( ) A．－30 B．10 C．－6或10 D．－30或34 10．如果sinθ＋sin θ≥cosθ＋cos θ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范围是( )
3
3
2
2
?π3π??π5π??π3π??π5π?
A.?，? B.?，? C.?，? D.?，?
4?4?4?4??4?4?4?4?3?2
11．已知点A?，－1?在抛物线C：x＝2py(p>0)的准线l上，过点A向抛物线C引切线AT，切点
?2?
为T，点P是抛物线C上的动点，则点P到直线l和直线AT的距离之和的最小值是( )
53
C. 22
5
或5 2
A.5 B.5 D.
12．已知函数f(x)＝?π?2
2sin?x＋?＋2x＋x
?4?
2x＋cos x
2
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数学家陶哲轩与林格合作证明了一个有关素数的结论：存在任意长度的素数等差数列．例如：数列3，5，7是包含有3个素数的公差为2的等差数列，则公差为6的素数等差数列中最小的素数是________．
14．当θ为任意角时，动直线xcos θ＋ysin θ＝1所围成区域的面积是________．
15．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生入座，要求师生相间，则不同的坐法种数是________．
16．设△ABC的内角A，B，C满足sin A(sin B＋sin C)＝sin Bsin C，则sin A的最大值是________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项公式及其前n项和；
Sn
(2)设bn＝，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
n
18．(本小题满分12分)某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，且在开幕式当天举办大31
型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示，其中有的社长是高中学生，的
44
12
社长是初中学生，高中学生社长中有是高一学生，初中学生社长中有是初二学生．
33
(1)若校园电视台记者随机采访3名社长，求恰有1名是高一学生且至少有1名是初中学生的概率；
(2)若校园电视台记者随机采访3名初中学生社长，设初二学生人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
19．(本小题满分12分)如图3-3，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC＝BC＝CC1＝2，且AC⊥BC，M是AB1与A1B的交点，N是线段B1C1的中点． (1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求平面AA1B与平面A1BC所成锐二面角的正弦值．
图3-3
20.(本小题满分12分)已知平面内定点F(1，0)，定直线l：x＝4，P为平面内一动点，作PQ⊥l，→→
垂足为Q，且|PQ|＝2|PF|. (1)求动点P的轨迹方程；
2024-2024学年高考(全国卷)原创押题卷(三)数学理科试题及答案解析
