7.3 球
1.了解球的体积和表面积公式.(重点)
2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)
[基础·初探]
教材整理 球
阅读教材P48“7.3 球”一节至P49“例6”以上部分，完成下列问题. 43
1.球的体积：球的半径为R，那么它的体积V球＝πR.
32.球的表面积：球的半径为R，那么它的表面积S球面＝4πR.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直径为d的球的表面积S＝4πd.( )
(2)若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的半径扩大为原来的4倍.( ) (3)若球的半径变为原来的2倍，则球的体积变为原来的4倍.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
2
2
[小组合作型]
球的表面积与体积的计算
已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于3，且AC＝BC＝2，AB＝2，求球面面积与球的体积.
【精彩点拨】 利用已知条件，结合球心与截面圆心连线垂直于截面而构成的直角三角形，求出半径，从而求出球的体积与表面积.
【自主解答】 如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面
ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心.
由AC＝BC＝2，AB＝2，知△ABC是AB为斜边的直角三角形， 1
∴O1是AB的中点，在Rt△AOO1中，OO1＝3，O1A＝AB＝1，
2∴OA＝2，即R＝2，
43322
∴S球面＝4πR＝16π，V球＝πR＝π.
33
1.球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求出球的半径.
2.在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d＝R－r.
[再练一题]
1.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm，试求此球的表面积和体积.
【解】 如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径.
∵48π＝π·O1A，∴O1A＝48. 在Rt△AO1O中，OA＝O1O＋O1A，
2
2
2
2
2
2
2
2
?1?2
即R＝?R?＋48，∴R＝8(cm)，
?2?
432 048223
∴S球面＝4πR＝4π×64＝256π(cm)，V球＝πR＝π(cm).
33
球的表面积及体积的应用 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
【导学号：39292055】
【精彩点拨】 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决.
【自主解答】 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示.
∵AC＝3r，PC＝3r，
∴以AB为底面直径的圆锥的容积为
V圆锥＝πAC2·PC
14323
＝π(3r)·3r＝3πr，V球＝πr. 33球取出后水面下降到EF，水的体积为
1
3
V水＝πEH2·PH
1132
＝π(PH·tan 30°)·PH＝πx. 39而V水＝V圆锥－V球，
134333
即πx＝3πr－πr，∴x＝15r. 933
故球取出后水面的高为15r.
1.画出截面图是解答本题的关键.
2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算.
[再练一题]
2.圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
4?5?【解】 设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2×π×??＝3?2?125π2
，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×5×h， 3
125π52
所以＝π×5×h，所以h＝(cm)，
335
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm. 3
[探究共研型]
与球有关的切、接问题 探究1 一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？ 13
高中数学第一章立体几何初步1-7简单几何体的面积和体积1-7-3球学案北师大版必修2
