抛物线知识点总结
y2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) x2??2py(p?0) 图象 l y y y l F O F x F O x O x l y l O 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫定义 范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 焦半径 A(x1,y1) F x 做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{Mx?0,y?R x?0,y?R MF=点M到直线l的距离} x?R,y?0 x?R,y?0 关于x轴对称 (p,0) 2关于y轴对称 pp,0) (0,) 22焦点在对称轴上 (?(0,?p) 2O(0,0) e=1 x??p 2x?p 2y??p 2y?p 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p 2p AF?x1?p 2AF??x1?p 2AF?y1?p 2AF??y1?p 2焦点弦 长 (x1?x2)?p ?(x1?x2)?p (y1?y2)?p ?(y1?y2)?p AB 焦点弦 y o A?x1,y1? x B?x2,y2? F AB的几条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必与准线l相切 2p2pAB? 若的倾斜角为，则 AB?sin2?cos2?若AB的倾斜角为?，则AB?p2x1x2? y1y2??p2 411AF?BFAB2???? AFBFAF?BFAF?BFp切线 方程 参数 方程
y0y?p(x?x0) y0y??p(x?x0) x0x?p(y?y0) x0x??p(y?y0) ?x?2pt2(t为参数) ??y?2pt
1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线
，，消y得：
（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，
Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?b 抛物线
① 联立方程法：
?y?kx?b?k2x2?2(kb?p)x?b2?0 ?2?y?2px，(p?0)
设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出
y1?y2?kx1?b?kx2?b?k(x1?x2)?2by1y2?(kx1?b)(kx2?b)?k2x1x2?kb(x1?x2)?b2
，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长
AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?k2? a或 AB?1?11?22y?y?1?(y?y)?4yy ?1?k12121222kkab. 中点M(x0,y0), x0?② 点差法：
x1?x2y?y2， y0?1 22设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得
y1?2px1 y2?2px2 将两式相减，可得
(y1?y2)(y1?y2)?2p(x1?x2) y1?y22p?x1?x2y1?y222
2p y1?y2a. 在涉及斜率问题时，kAB?b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，
y1?y22p2pp???， x1?x2y1?y22y0y0 即kAB?p， y0同理，对于抛物线x2?2py(p?0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点
M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kAB?x1?x22x0x0?? 2p2pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜
率存在，且不等于零）
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