第二章推理与证明
本章只需重视综合法、分析法、反证法的特点。及数学归纳法的掌握！ 一、基础知识【理解去记】 综合法：“执因导果” 分析法“执果导因” 反证法:倒着推【不常考】
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.
2.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全
归纳法
3.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法
4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先
证明当n取第一个值
n0时命题成立；然后假设当n?k(k?N，k≥
*n0)时命题成立，证明
当n?k?1命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n?n0时，
命题成立，再假设当n?k(k?N，k≥
*n0)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，
根据这个假设，如能推出当n?k?1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于正整数
n0的
n0?1，
n0?2，…，命题都成立.
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
?1?证明：当n取第一个值n0结论正确；?2?假设当n?k(k?N*，k≥n0)时结论正确，
证明当n?k?1时结论也正确由
?1?，?2?可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
7.?1?用数学归纳法证题时，两步缺一不可；?2?证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑
目标.
二、基础例题【必会】 用数学归纳法证明等式
11???用数学归纳法证明：n?N时，1?33?5?1n?(2n?1)(2n?1)2n?1
第1页 共2页
点评：用数学归纳法证明，一是要切实理解原理，二是严格按步骤进行，格式要规范，从n=k到n=k+1时一定要用归纳假设，否则不合理。
用数学归纳法证明不等式
11??例2.证明n?1n?2?1?1,(n?N)3n?1
点评：用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较
法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明的过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩建立关系。同时在数学归纳法证明不等式里应特别注意从n=k到n=k+1过程中项数的变化量，容易出错。
用数学归纳法证明整除问题
n?(3n?1)?7?1,(n?N)能被9整除。 例3.用数学归纳法证明：
点评：用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后
证明剩下的式子也能被某式（或数）整除，拼凑式关键。
第1页 共2页
高考数学总复习系列选修2-2第二章推理与证明
