第十三届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动
趣味数学解题技能展示大赛初赛
小学四年级试卷（B 卷） 2015 年 3 月 8 日 南京
填空题 I（每题 8 分，共 40 分）
1 计算 5×13×31×73×137=__________________
【解析】：本题考查多位数乘法的计算。直接列式子计算。
2、用 1 个 1、2 个 2、2 个 3 组成一些 4 位数，则能够组成的不同 4 位数一共有__________ 个。【解析】：本题考查排列组合。1,2,2,3,3 五个数字拿出 4 个。相当于 5 个拿走一个，只能拿走 1 或 2 或 3。有①2233 ②1223 ③1233 这三种组合。分析第①种，当两个 2 连在一起，2233 3223 3322 两个 2 中间隔一个数，2323 3232 两个 2 中间隔两个数 2332. 这样第一种小情况有 6 种。第②种，同样分析，但是 1 和 3 可以互换一次，所以有 6×2=12 种。第③种，把
22 和 33 互换，用换位思考的方法，同第②种。所以一共有 6+12+12 得 30 种
3、整除 2015 的数称为 2015 的因数，1 和 2015 显然整除 2015，称为 2015 的平凡因数，除了平凡因数，2015 还有一些非平凡因数，那么 2015 的所有非平凡因数之和为______________
【解析】：考查因数概念和分解质因数方法。2015 分解质因数 2015=5×13×31，每两个因
数两两组合，得 5+403+13+155+31+65=672。注明：分解质因数的方法，2015÷50=403，对
于 403 的枚举量很大，很难分解，这里需要知道一个方法，只要试到这个数的开方数以下的质数。20×20=400，所以只要把 403 除以 20 以内的质数就可以试出来。，如果孩子不明白质因数，可以列举把结果给孩子看。
4、一个自然数能够表示成 5 个连续的自然数之和，也可以表示成 7 个连续的自然数之和，那么将符合以上条件的自然数从小到大排列，前 3 个数分别为______________
【解析】：平均数和最小公倍数概念。第一、二句话可以理解这个数可以整除 2.5 和 3.5。又因为这是一个自然数，可以理解成这个数可以整除 5 和 7.这样应该是 35、70、105 等
5、“24 点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从 52 张扑克牌（不包括大小王）中抽取 4 张，用这 4 张扑克上的数（A=1、J=11 、 Q=12、 K=13）通过加减乘除四则运算得出 24，先找到算法者获胜，游戏规定 4 张扑克牌都要用到，而且每张只能用 1 次，比如 2、3、4、Q 则可以有算法（2×Q）×（4-3）得到 24。
如果在一次游戏中恰好抽到 5、5、5、1 则你的算法是______________
【解析】：24 点算法。5×（5-1÷5）=24。这类问题平时训练可以记住集中特殊的算法。让孩子知道游戏规则，每张牌都要用一次。题目只有 5 和 1 这两个数字，这样可以让孩子找一找不同的运算组合。不要限于整数的运算。
填空题 I（每题 10 分，共 50 分）
第 6 题
第 7 题
第 8 题
6、如图所示，已知最大的圆的直径是 100cm，则最小的圆的直径是______________ cm
【解析】：本题考查线段与面积关系。方法一，投机取巧，可以用尺子量直径长度，根据比例推断最小圆直径是最大圆的一半。
方法二，将线段转化成面积，回避无理数。如果直接用线段证明数量关系，等腰三角形直角边与斜边是 1 比根号 2 关系。那么中间的圆显然 大、中、小三个圆的直径是 2,根号 2、1，
根号 2 是无理数，孩子小不能理解。这样的方法不合适。那么如何处理呢？
下图：小圆是小正方形（2 个浅色）的内接圆，画图可知中圆是大一点的正方形（3 深色+1
个浅色）. 大圆的面积是小圆的 2 倍。（数三角形） 同理，最外面的圆在的正方形的面积是中间正方形面积的 2 倍。这样最外面的正方形是最小正方形面积的 4 倍。 所以，最大的正方形的边长是最小正方形的 2 倍。
所以小圆的直径是 100÷2=50cm
7，给定一个正六边形，用不相邻的顶点所连的线段可以将这个正六边形分割为 4 个三角形，
例如，下图所示的是两种不同的分割方法。那么，不同的分割方法一共有_____________种。
【解析】：考查了对角线概念，图形分割，分类讨论。方法，如图，状态一，首先有 6 个顶
点，那么就有 6 种。状态二，形如 N 字型，N 字型中的对角线可以对调，一个 N 字型有 2
种，N 字型可以旋转 3 次，一共是 3×2=6 种。状态三、中间的三角形可以旋转 2 次，有 2
中。这样一共 6+6+2=14 种。
8、将四边形的任意一边延长，四边形其余两个顶点总在同一侧的四边形称为凸四边形，下
图中共有______________个凸四边形。
【解析】：考查了学生对凸四边形的概念和图形观察力。首先最大的长方形是一种。方法：将长方形的一个顶点拖拽到另一个位置，看一看是否形成四边形条件。图中标记的红点是重要的拖拽点。一共可以得到 7 种形状不一样的凸四边形。根据对称性质，有 14 种。加上最外面的 1 种，一共 15 种。
9、索玛立方体是丹麦物理学学家皮特.海音（Piet Hein）发明的 7 个小立方体组块（如图所
示），如果假设这些小立方体的边长为 1，则利用这个组块不仅可以组成一个 3×3 的立方体，还可以组成很多美妙的几何体。那么，要组成下面几何体，需要用到的 2 个索玛立方体的编
号是______________
第 9 题 第 10 题 【解析】：本题考查的是空间思维。注意两点，一个是确定目标图形的积木块数，它是要等于小积木的块数。二是小积木式可以旋转的。所以 2 号积木可以“躺”下来，这样和 6 号积木组合成目标积木。
10、如图所示的多面体叫做正二十面体，是 5 个柏拉图立体（正多面体）中的一个，这个多面体是由 20 个面（正三角形）围城，现将这 20 个面着色，要求有共同棱的两个面染不同的
颜色，则至少需要______________种颜色。
【解析】：本题考查空间思维。如右图：把这个正十二面体一分为二，得到十个面，可以得到如图的染色（例题图形展开周边是锯齿状，好像手工中涂胶水的地方要剪成锯齿状）。解释，从中间看，中间红色，相邻 3 个为蓝色，剩下来除了用红色必须要用第三种颜色，灰色。另一半也是如此，这样两个锯齿状接触面有两种相隔的颜色（红，灰），拼合的时候，只要旋转错位即可。
填空题 III（每题 12 分，共 60 分）
自然数写在这里______________
11，有一个自然数用 7 除余 3，用 9 除余 4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个
【解析】：本题考查余数。被除数-余数=除数×倍数
设自然数是 a，则有 a-3=7 14 21 28 35 …… 91 ① 7 的倍数
② 9 的倍数 a-4=9 18 27 36……90
②+1 相当于 a-3=10 19 28 37 …… 91 ③ 9 的倍数+1
由①和③可以知道，a-3= 28 或 91 这样 a 是 31 和 94
12、给定三个自然数 1、2、3 对这三个数进行一次操作，将其中一个数换成另两个数的和，这样进行 9 次操作后，所得的三个自然数中，最大的数可能值为______________
【解析】：数字的代换和计算。1,2,3 用最大的两个数相加，得到的数代替最小的数。书写技巧，由大到小排列。
3 2 1
5 3 2 第 1 次 8 5 3 13 8 5
21 13 8
34 21 13 55 34 21 89 55 34 144 89 55
第 9 次 233
13、能够被 1 到 11 的所有自然数整除的最小自然数为__________________
【解析】：考查最小公倍数，多个数的最小公倍数的求法。
方法一，从大数向小数考虑。1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11 分析能被 10 整除，就可以被
2 和 5 整除，能被 9 整除就可以被 3 整除，对于 8，因为前面有一个 2，只要保留 4 就可以得到 8，所以可以排除 8。对于 6，因为有 2 和 3，可以排除 6。这样 2 5 3 8 6 排除，保留 7×4×9×10×11= 27720 方法二：小数向大数考虑 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11
经过分解可以得到下面的乘法算式。
1×2×3×2×2×5×2×3×7×2×2×2×3×3×2×5×11
注明：方法顺序删除，从左向右每组红色下划线的数字如果和黑色数字有重复，可以删除（重复几个删除几个），删除后每组余下的红色数字变成黑色数字。用同样的方法删除下一组红色数组。（因为黑色的数字可以代替红色的数字。）
这样可以得到 1×2×3×2×2×5×2×3×7×2×2×2×3×3×2×5×11
1×2×3×2 删除一个 2，剩下的 2 变成黑色继续删除下一组红色组合同理可得： 1×2×3×2×5×7×2×3×11=27720
14，如果一个长方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个长方形称为完美长方形，已知下面的长方形是一个完美长方形，分割方法如图所示，其中小正方形中心的数字代表其边长，则途中没有表示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为【解析】：本题考查图形与边长，正方形的边长相等，重在分析方法和找突破口。
突破口是 9 与 16 这两个正方形。：9+16=25 16-9=7 9-7=2 7-2=5 16+7+5=28 36+9+16-28=33
从小到大依次可得：2、5、7、25、28、33
15、将自然数 1 到 16 排成 4×4 的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为 4 阶幻方，下面的幻方是在印度那神庙中发现的，请将其补充完整
(word完整版)四年级2015年第十三届走美杯真题和答案与解析(四年级)
