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人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
正弦函数、余弦函数的性质
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2?]上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)．
【要点梳理】
要点一：周期函数的定义
函数y?f(x)，定义域为I，当x?I时，都有f(x?T)?f(x)，其中T是一个非零的常数，则y?f(x)是周期函数，T是它的一个周期. 要点诠释：
1.定义是对I中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x?T)?f(x)或只差个别的x值不满足
f(x?T)?f(x)都不能说T是y?f(x)的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx 定义域 值域 奇偶性 周期性 R [-1，1] 奇函数 最小正周期2? 增区间 单调区间 k∈Z R [-1，1] 偶函数 最小正周期2? [2k??，2k??]22 减区间 ??增区间?2k???，2k?? 减区间?2k?，2k???? [2k??最值点 k∈Z 对称中心 k∈Z 对称轴 k∈Z ?2，2k??最大值点(2k??最小值点(2k???3?]2 ,1) 22最大值点?2k?，1? 最小值点 ?,?1) ?2k???,?1? (k??0? ?k?，x?k???2,0) ?2 x?k? 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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要点诠释：
（1）正弦函数、余弦函数的值域为??1,1?，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是??1,1?，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求应先将y?sin(?x)变换为y??sinx再求解，相当于求y?sinx的单调y?sin(?x)的单调递增区间时，
递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先
求定义域．
要点三：正弦型函数y?Asin(?x??)和余弦型函数y?Acos(?x??)(A,??0)的性质． 函数y?Asin(?x??)与函数y?Acos(?x??)可看作是由正弦函数y?sinx，余弦函数因此它们的性质可由正弦函数y?sinx，余弦函数y?cosx类似地得到： y?cosx复合而成的复合函数，（1）定义域：R （2）值域：??A,A?
（3）单调区间：求形如y?Asin(?x??)与函数y?Acos(?x??)(A,??0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把?x??视为一个“整体”，分别与正弦函数y?sinx，余弦函数y?cosx的单调递增（减）区间对应解出x，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由
2?3?2k????x???2k??(k?Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．
22
2k???2??x???2k???(k?Z)解出x的范围所得区间即为增区间，由
（4）奇偶性：正弦型函数y?Asin(?x??)和余弦型函数y?Acos(?x??)(A,??0)不一定具备奇偶性．对于函数y?Asin(?x??)，当??k?(k?z)时为奇函数，当??k??对于函数y?Acos(?x??)，当??k?(k?z)时为偶函数，当??k??要点诠释：
判断函数y?Asin(?x??)，y?Acos(?x??)的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为T??2(k?z)时为偶函数；
?2(k?z)时为奇函数．
2??．
（6）对称轴和对称中心
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与正弦函数y?sinx比较可知，当?x???k???2函数y?Asin(?x??)取得最大值（或(k?z)时，
最小值），因此函数y?Asin(?x??)的对称轴由?x???k???2(k?z)解出，其对称中心的横坐标
?x???k?(k?z)，即对称中心为??k????,0?(k?z)．同理，y?Acos(?x??)的对称轴由????x???k?(k?z)解出，对称中心的横坐标由?x???k??要点诠释：
?2(k?z)解出．
若x?R，则函数y?Asin(?x??)和函数y?Acos(?x??)不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】
类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域 例1．求函数y?2sin2x?cosx?1的定义域； 【答案】?x2k????2?2???x?2k??,k?Z? 33?【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得?画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．
1 ?cosx?1．
2
∴定义域为?x2k??
??2?2???x?2k??,k?Z?． 33?【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，
要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
举一反三：
【变式1】求函数y?lg(2sinx?1)的定义域 【解析】依题意得2sin x－1＞0，即sinx?∴函数的定义域为?x2k??例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x
1?5，∴2k???x?2k???（k∈Z）， 266???5??x?2k???,k?Z?． 66?资料来源于网络 仅供免费交流使用
人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_正弦函数、余弦函数的性质_基础
