第4讲 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见
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的五类幂函数为
(2)图象
－
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x1.
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) ?4ac－b2，＋∞? ?4a?b－∞，－?上单调递减； 在?2a??b－，＋∞?上单调递增 在??2a? (－∞，＋∞) ?－∞，4ac－b2? 4a??b－∞，－?上单调递增； 在?2a??b－，＋∞?上单调递减 在??2a?b函数的图象关于x＝－对称 2a
单调性 对称性 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
4ac－b2
2
(4)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
4a
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( ) (6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大
小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c B．a 解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D. 已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( ) 1?－∞，－1? 0，? A．?B．20??20??1?－1，0? ，＋∞? C．?D．?20??20? ??a＞0，??a＞0，1解析：选C.由题意知?即?得a＞. 20 ??Δ＜0，??1－20a＜0， 2 (教材习题改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点?2，?，则此函数的解析式为 2?? ________；在区间________上递减． 1 2 答案：y＝x－ (0，＋∞) (教材习题改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________． 解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得 g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数． 所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1，3]． 答案：[－1，3] 幂函数的图象及性质 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( ) (2)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y＝xα， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 1 所以2＝4α，解得α＝. 2 所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0 1212 a＋1≥0，?? (2)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以?3－2a≥0，解 ??a＋1<3－2a， 1 2 2 得－1≤a<. 3 2－1，? 【答案】 (1)C (2)?3?? 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 1．已知幂函数f(x)＝x m－2m－3 (m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________． 解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称， 2 所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m<0，故m＝1. 答案：1 － 2．当0 解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)． 答案：h(x)>g(x)>f(x) 求二次函数的解析式 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二 次函数的解析式． 【解】 法一：(利用一般式) ?a－b＋c＝－1， 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．由题意得? 4ac－b ?4a＝8， 2 2 4a＋2b＋c＝－1， a＝－4，?? 解得?b＝4，所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x＋4x＋7. ??c＝7. 2 法二：(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
高三一轮复习2021版 第二章 第4讲 二次函数与幂函数
