18．解：（1）50，24；
（2）如图所示； （3）72；
（4）该校D级学生有：2000?
4?160人. 50
19．解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元.
?2x?y?90，依题意，得?
?3x?2y?160.?x?20，解得?
y?50.?答：A商口每件20元，B商品每件50元.
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10?a)件. ?20a?50(10?a)?300，依题意，得?
20a?50(10?a)?350.?来源:]解得5≤a≤6
2. 3根据题意，a的值应为整数，所以a?5或a?6.
方案一：当a?5时，购买费用为20?5?50?(10?5)?350元； 方案二：当a?6时，购买费用为20?6?50?(10?6)?320元. ∵350>320，
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低.
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低. 20．解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.
∴∠AEB?∠AEC?90?.
在Rt△ABE中，∵sinB?
AE， AB2?3. 2∴AB?AB·sinB?32·sin45?? 32·∵∠B?45?， ∴∠BAE?45?. ∴BE?AE?3.
AE， ECAE33???3. ∴EC?
tan?ACBtan60?3在Rt△ACE中，∵tan∠ACB?
6
∴BC?BE?EC?3?3.
（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC?30?，EC?3， ∴AC?23. 解法一：连接AO并延长交⊙O于M，连接CM. ∵AM为直径， ∴∠ACM?90?.
在Rt△ACM中，∵∠M?∠D?∠ACB?60?，sinM?∴AM?
AC， AM23AC??4. sin60?sinM∴⊙O的半径为2.
解法二：连接OA，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，
则AF?
1AC?3. 2∵∠D?∠ACB?60?， ∴∠AOC?120?. ∴∠AOF?
1∠AOC?60?. 2在Rt△OAF中，sin∠AOF?∴AO?
AF， AOAF?2，即⊙O的半径为2.
sin?AOF
21．解：（1）1，33； 4（2）①∵∠A<∠BOC?60?，
∴∠A不可能是直角. ②当∠ABP?90?时， ∵∠BOC?60?， ∴∠OPB?30?.
∴OP?2OB，即2t?2. ∴t?1.
7
③当∠APB?90?时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP?∠PDB?90?. ∵OP?2t，
∴OD?t，PD?3t，AD?2?t，BD?1?t（△BOP是锐角三角形）.
解法一：∴BP2?（1?t）2 ?3t2，AP2?(2?t)2?3t2. ∵BP2?AP2?AB2，
∴(1?t)2?3t2?(2?t)2?3t2?9， 即4t2?t?2?0.
?1?33?1?33，t2? （舍去）. 88解法二：∵∠APD?∠BPD?90?，∠B?∠BPD?90?，
解得t1?∴∠APD?∠B. ∴△APD∽△PBD. ∴
ADPD?. PDBD∴PD2?AD·BD.
于是(3t)2?(2?t)(1?t)，即 4t2?t?2?0. 解得t1??1?33?1?33，t2? （舍去）. 88?1?33. 8综上，当△ABP为直角三角形时，t?1或（3）解法一：∵AP?AB， ∴∠APB?∠B.
作OE∥AP，交BP于点E， ∴∠OEB?∠APB?∠B. ∵AQ∥BP，
∴∠QAB?∠B?180?. 又∵∠3?∠OEB?180?， ∴∠3?∠QAB.
又∵∠AOC?∠2?∠B?∠1?∠QOP， 已知∠B?∠QOP， ∴∠1?∠2.
∴△QAO∽△OEP.
8
∴
AQAO，即AQ·EP?EO·AO. ?EOEP∵OE∥AP，
∴△OBE∽△ABP. ∴
OEBEBO1???. APBPBA313∴OE?AP?1，BP?EP.
23∴AQ·BP?AQ·
333EP?AO·OE??2?1?3. 222
解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F.
∵AQ∥BP， ∴∠QAP?∠APB. ∵AP?AB， ∴∠APB?∠B. ∴∠QAP?∠B. 又∵∠QOP?∠B， ∴∠QAP?∠QOP. ∵∠QFA?∠PFO， ∴△QFA∽△PFO. ∴
FQFAFQFP，即. ??FPFOFAFO又∵∠PFQ?∠OFA， ∴△PFQ∽△OFA. ∴∠3?∠1.
∵∠AOC?∠2?∠B?∠1?∠QOP， 已知∠B?∠QOP， ∴∠1?∠2. ∴∠2?∠3.
∴△APQ∽△BPO. ∴
AQAP. ?BOBP∴AQ·BP?AP·BO?3?1?3.
9
22.
【答案】（1）顶点D的坐标为（3，?1）. 令y?0，得
1(x?3)2?1?0， 2解得x1?3?2，x2?3?2. ∵点A在点B的左侧，
∴A点坐标(3?2，0)，B点坐标（3?2，0）. （2）过D作DG⊥y轴，垂足为G. 则G（0，?1），GD?3. 令x?0，则y?∴GC?
77，∴C点坐标为（0，）. 2279?(?1)?. 22设对称轴交x轴于点M. ∵OE⊥CD，
∴∠GCD?∠COH?90?. ∵∠MOE?∠COH?90?， ∴∠MOE?∠GCD.
又∵∠CGD?∠OMN?90?， ∴△DCG∽△EOM.
来源:ZXXK]9CGDG3?，即2?∴. OMEM3EM∴EM?2，即点E坐标为(3，2)，ED?3. 由勾股定理，得AE2?6，AD2?3， ∴AE2?AD2?6?3?9?ED2.
∴△AED是直角三角形，即∠DAE?90?. 设AE交CD于点F. ∴∠ADC?∠AFD?90?. 又∵∠AEO?∠HFE?90?， ∴∠AFD?∠HFE， ∴∠AEO?∠ADC.
（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2?EP2?1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小. 设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2?(x?3)2?(y?2)2.
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2014年福州市中考数学试卷(含答案)
