习题1
vvv1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti?sinωtj) 其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
vvv解：(1) 由r=R(cosωti?sinωtj)，知：x?Rcos?t ，y?Rsin?t
222消去t可得轨道方程：x?y?R
vvvvvdr（2）由v?，有速度：v???Rsin?ti??Rcos?tj
dt1?22而v?v，有速率：v?[(??Rsin?t)?(?Rcos?t)]2??R。
∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；
vv??4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。
求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1s的位移；（3）t?0和t?1s两时刻的速度。
vvv22解：（1）由r?4ti?(3?2t)j，可知x?4t ，y?3?2t
2 消去t得轨道方程为：x?(y?3)，∴质点的轨道为抛物线。
????????（2）从t?0到t?1s的位移为：?r?r(1)?r(0)?(4i?5j)?3j?4i?2j
vvvvvdr（3）由v?，有速度：v?8ti?2j
dtvvvvvt?0和t?1秒两时刻的速度为：v(0)?2j，v(1)?8i?2j。
vv2v?1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）
1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为rv任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
vvvvvdvvvdrvv解：(1)由v?，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i；
dtdt1?222（2）而v?v，有速率：v?[(2t)?2]2?2t?1 ∴at?dv?dt2tt?12，利用a22?at2?an有： an?a2?at2?2t2?1。
1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为h，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为机上升的高度为
y1，升降
y2，运动方程分别为
1y1?h?v0t?gt2 （1）
21
1y2?v0t?at2 （2）
2相遇时y1=y2 即得：
t?2hg?a。
解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为利用h
g'?g?a，
?122hg?t，有：t??2g?2hg?a。
1-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：
（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
yhv0vvdrdvdv（3）落地前瞬时小球的，，。
dtdtdt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：
vv11vx?v0t ，y?h?gt2 ，∴r?v0ti?(h?gt2)j； O22gx2（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y??； ?h（为抛物线方程）
22v0vvvvdr12vv?v0i?gtj， （3）∵r?v0ti?(h?gt)j，∴
dt2vvvvdvv??gj 即：v?v0i?gtj，
dtvvvdr2h?v0i?2ghj 在落地瞬时，有：t?，∴dtg又∵
xv?g2ghg2tdvv?v?v?(?gt)，∴??2dt[v2?(gt)2]12v0?2gh02x2y202 。
1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.
证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为
x2， h1h2x1x2 2
O由相似三角形关系可得：
x1?x2h2?x1h1，
h1x2
h1?h2dx1h1dx2dx2??v1， 两边对时间求导有： ，考虑到：dth1?h2dtdtdx2h1?v1（常数）知人影中头的速度：v影?。 dth1?h2∴x1?
1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为
x?2?4t?2t2(m)，在 t从0到3s的时间间隔内，质点走过的
路程为多少？
解：由于是求质点通过的路程，所以需考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：
v?dx?4?4t 若v?0 解得 t?1s， dt?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m
?x??x1??x2?10m。
1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，斜面
?30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的对水平的倾角
下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。
解：小球落地时速度为0，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，
??v?2ghvx0?v0cos600→
1gcos600t2 （1） 21vy0?v0sin600→ y?v0sin600t?gsin600t2 （2）
22v0第二次落地时：y?0，代入（2）式得：t?，
g22v012?2gh002gcos60t???4h?80cm。 所以：x?v0cos60t?2ggx?v0cos600t?
3
1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s，设赤道上重力加速度为9.80m/s。 解：由向心力公式：
22F向?m?2R，
?mg，而现在赤道上物体的向心力为：F'向?ma
赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向∴
?mgg980????16.98?17 ?0maa3.41-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为
的曲率半径。
解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx因此有：
?。试分别求出抛物线顶点及落地点
?v0cos?，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。
y，
?1??12v0cos2?gg?v2?(v0cos?)2?1v0vx?ganx；
?v0（2）在落地点子弹速度为v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成2v0有：gcos?? 则： ?2?。
gcos??21-11．飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高
h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，
gcos?，?角，则：an?g2v0yv0驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为x有：
x?v0t┄①，h?联立方程解得：
12gt┄② 2h?Oxxx?447m，∴??arctan?77.50。
h
vvvv1-12．设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。 证明：两个物体初速度为vA0和vB0，在任意时刻的速度为：
vvv vA(t)?vA0cos?i?(vA0sin??gt)j
vvv vB(t)?vB0cos?i?(vB0sin??gt)j
vvvvv?vBA?vB(t)?vA(t)?(vB0cos??vA0cos?)i?(vB0sin??vA0sin?)j
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与时间无关，故
B相对物体A的速度是常矢量。
?49.0m/s，而气球以速度
1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0解：取g=9.8m/s2。
物体在任意时刻的速度表达式为：vy故气球中的观察者测得物体的速度?vv?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
?v0?gt ?vy?v
代入时间t可以得到第二秒末物体速度：?v2第三秒末物体速度：?v3第四秒末物体速度：?v4
1-14．质点沿x轴正向运动，加速度
?9.8ms，（向上）
?0
??9.8ms（向下）。
a??kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程
dv??kv， dtx?x(t)。
解： 由于是一维运动，所以，由题意：
v分离变量并积分有：
t1?kt ，得：v?v0e dv??kdt?v0v?0xtdx?kt 又∵ ?v0e， 积分有：?dx??v0e?ktdt
00dtv0(1?e?kt) ∴ x?k
1-15．跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度a求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。 解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴。
10m??kv2，k?0.4m?1.
跳水运动员入水时的速度：v0?2gh?14ms，
入水后速度减为入水速度的10%时：vtv0?1.4m，
s10dvdvdvdvdv??kv2，考虑到?v，有：?kv2??v 列式：dtdtdxdtdxv0x1110dv??kdx，x?ln10?5.76m
?v0v?0k?5
(完整版)(上海交大)大学物理上册课后习题答案1质点运动
