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【精品】数学分析_各校考研试题及答案

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2003南开大学年数学分析

一、设w?f(x?y,x?y,x)其中f(x,y,z)有二阶连续偏导数,求wxy

解:令u=x+y,v=x-y,z=x则wx?fu?fv?fz;

wxy?fuu?fuv(?1)?fvu?fvv(?1)?fzu?fzv(?1)

二、设

数列{an}非负单增且

1nnan]n??liman?a,证明

n??nnlim[a1?a2????a

?1nn(nan)

解:因为an

n??1nnn非负单增,故有an?[a1?a2???an]n由liman?a;据两边夹定理有极限成立。

?2三、设f(x)??xln(1?x),x?0试确定??的取值范围,使f(x)分别满足:

?0,x?0(1) (2) (3)

极限limx?0?f(x)存在

f(x)在x=0连续 f(x)在x=0可导

解:(1)因为

x?0?limf(x)=limx?ln(1?x2)=

x?0?2nx4n?1xlimx[x????(?1)?o(x2n)]极限存在则

x?02n?2?2+??0知???2 (2)因为limx?0?f(x)=0=f(0)所以要使

f(x)在0连续则???2

?(0)?0所以要使f(x)在0可导则???1 (3)f?四、设f(x)在R连续,证明积分?lf(x2?y2)xdx?ydy与积分路径无关 解;令U=x2?y2则?lf(x2?y2)xdx?ydy=1?f(u)du又f(x)在R上连续故

2l存在F(u)使dF(u)=f(u)du=f(x2?y2)xdx?ydy

所以积分与路径无关。 (此题应感谢小毒物提供

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思路)

五、

设f(x)在[a,b]上可导,

Mf(a?b)?02且

f?(x)?M,证明

b2 ?af(x)dx?4(b?a)证:因f(x)在[a,b]可导,则由拉格朗日中值定理,存在

a?ba?b??(a,b)使f(x)?f()?f?(?)(x?)22即有

a?b?f(x)dx??f?(?)(x?2)dxabaa?ba?ba?ba?bMb?2??f(?)(x?)dx?M[?a(?x)dx??a?b(x?)dx]?(b?a)222242bab六、设{an}单减而且收敛于0。?ansinn发散

a) b)

证明?ansinn收敛

un?1其中un??(aksink?aksink);证明limn??vnvn??(aksink?aksink)

证:(1)因为?sink?11sin2而{an}单减而且收敛于0据狄利克莱判

别法知?ansinn收敛

(2)因为正项级数?ansinn发散则?aksink??(n??)又由上题知?aksink有界故有lim七、设F(t)??1e?tx(1)????txe1??un?1

n??vnsinxdx 证明 xsinxdx在[0,??)一致收敛 x2 / 76精品word

(2)F(t) 在[0,??)连续 证:(1)因???sinxdx收敛(可由狄利克莱判别法判出)故在1xt>=0

上一致收敛;又e?tx在x>=1,t>=0 单调且一致有界

0?e?tx?1(?x?1,t?0)由阿贝尔判别法知一致收敛

(2)?t0?[0,??),??,??0使t0?[?,?]由上题知,F(t)在[?,?]一致收敛,且由e?txsinx?[1,??)?[?,?]上连续知F在(x,t)(t)在[?,?]x连续所以在t0连续,由t0的任意性得证 八、令{fn(x)}是[a,b]上定义的函数列,满足 (1)对任意x0?[a,b]{fn(x0)}是一个有界数列 (

2

??0,存在一个

??0,当x,y?[a,b]且x?y??时,对一切自然数n,有fn(x)?fn(y)??求证存在一个子序列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛

k证:对任意x?[a,b],{fn(x)}是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列,设为{fn(x)},又令U={u(x,?x)x?[a,b]}则U为[a,b]

k的一个开覆盖集,由有限覆盖定理,存在有限个开区间覆盖[a,b],不妨设为u(x1,?x)?u(xm,?x)

1m于是对???0,能找到一N>0,?nk,nk?N,?xi,(i?1,2,?,m)有

12fn(xi)?fn(xi)?令??min{?x,?,?x}则由条件(2)知对上述

3k2k2?1m???0

???0,?x?[a,b],?xl使x?xl??,对一切自然数n,有fn(x)?fn(xl)??33 / 76精品word

【精品】数学分析_各校考研试题及答案

2003南开大学年数学分析一、设w?f(x?y,x?y,x)其中f(x,y,z)有二阶连续偏导数,求wxy解:令u=x+y,v=x-y,z=x则wx?fu?fv?fz;wxy?fuu?fuv(?1)?fvu?fvv(?1)?fzu?fzv(?1)二、设数列{an}非负单增且1nnan]n??liman
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