2003南开大学年数学分析
一、设w?f(x?y,x?y,x)其中f(x,y,z)有二阶连续偏导数，求wxy
解：令u=x+y,v=x-y,z=x则wx?fu?fv?fz；
wxy?fuu?fuv(?1)?fvu?fvv(?1)?fzu?fzv(?1)
二、设
数列{an}非负单增且
1nnan]n??liman?a，证明
n??nnlim[a1?a2????a
?1nn(nan)
解：因为an
n??1nnn非负单增，故有an?[a1?a2???an]n由liman?a；据两边夹定理有极限成立。
?2三、设f(x)??xln(1?x),x?0试确定??的取值范围，使f(x)分别满足：
?0,x?0（1） （2） （3）
极限limx?0?f(x)存在
f(x)在x=0连续 f(x)在x=0可导
解：（1）因为
x?0?limf(x)=limx?ln(1?x2)=
x?0?2nx4n?1xlimx[x????(?1)?o(x2n)]极限存在则
x?02n?2?2+??0知???2 (2)因为limx?0?f(x)=0=f(0)所以要使
f(x)在0连续则???2
?(0)?0所以要使f(x)在0可导则???1 （3）f?四、设f(x)在R连续，证明积分?lf(x2?y2)xdx?ydy与积分路径无关 解；令U=x2?y2则?lf(x2?y2)xdx?ydy=1?f(u)du又f(x)在R上连续故
2l存在F（u）使dF(u)=f(u)du=f(x2?y2)xdx?ydy
所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供
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思路）
五、
设f(x)在[a,b]上可导，
Mf(a?b)?02且
f?(x)?M,证明
b2 ?af(x)dx?4(b?a)证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
a?ba?b??(a,b)使f(x)?f()?f?(?)(x?)22即有
a?b?f(x)dx??f?(?)(x?2)dxabaa?ba?ba?ba?bMb?2??f(?)(x?)dx?M[?a(?x)dx??a?b(x?)dx]?(b?a)222242bab六、设{an}单减而且收敛于0。?ansinn发散
a) b)
证明?ansinn收敛
un?1其中un??(aksink?aksink)；证明limn??vnvn??(aksink?aksink)
证：（1）因为?sink?11sin2而{an}单减而且收敛于0据狄利克莱判
别法知?ansinn收敛
（2）因为正项级数?ansinn发散则?aksink??(n??)又由上题知?aksink有界故有lim七、设F(t)??1e?tx（1）????txe1??un?1
n??vnsinxdx 证明 xsinxdx在[0,??)一致收敛 x2 / 76精品word
（2）F(t) 在[0,??)连续 证：（1）因???sinxdx收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在1xt>=0
上一致收敛；又e?tx在x>=1,t>=0 单调且一致有界
0?e?tx?1(?x?1,t?0)由阿贝尔判别法知一致收敛
（2）?t0?[0,??),??,??0使t0?[?,?]由上题知，F（t）在[?,?]一致收敛，且由e?txsinx?[1,??)?[?,?]上连续知F在（x,t）（t）在[?,?]x连续所以在t0连续，由t0的任意性得证 八、令{fn(x)}是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意x0?[a,b]{fn(x0)}是一个有界数列 （
2
）
对
任
意
??0，存在一个
??0,当x,y?[a,b]且x?y??时，对一切自然数n,有fn(x)?fn(y)??求证存在一个子序列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛
k证：对任意x?[a,b]，{fn(x)}是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为{fn(x)}，又令U={u(x,?x)x?[a,b]}则U为[a,b]
k的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为u(x1,?x)?u(xm,?x)
1m于是对???0,能找到一N>0，?nk,nk?N，?xi,(i?1,2,?,m)有
12fn(xi)?fn(xi)?令??min{?x,?,?x}则由条件（2）知对上述
3k2k2?1m???0
???0,?x?[a,b],?xl使x?xl??，对一切自然数n,有fn(x)?fn(xl)??33 / 76精品word
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