第12练 导数几何意义的必会题型
[题型分析·高考展望] 本部分题目考查导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x0，y0)的切线还是在点(x0，y0)处的切线.
体验高考
?－ln x，0 ?ln x，x>1? l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( ) A.(0，1) B.(0，2) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞) 答案 A ??－ln x，0 解析 ∵f(x)＝? ??ln x，x>1， ? ∴f′(x)＝?1 ?x，x>1. P2. 1 －，0 若k1·k2＝－1，则两个切点一个在x∈(0，1)的图象上为P1，一个在x∈(1，＋∞)的图象上为 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 11则k1＝－，k2＝. x1x2∵k1k2＝－1，∴x1x2＝1. 1 令x1＝x0(0 0 11 ∴l1：y＋ln x0＝－(x－x0)?y＝－x＋1－ln x0， x0x0∴A(0，1－ln x0). 1 l2：y＋ln x0＝x0(x－)?y＝x0x－1－ln x0， x0∴B(0，－1－ln x0)， ∴|AB|＝1－ln x0－(－1－ln x0)＝2. 1??y＝－xx＋1－ln x0，2x0x20－1?0，－ln x0?联立?得P?2?. 2 x0＋1x0＋1????y＝x0x－1－ln x0，12|x0|12x02x02 ∴S△PAB＝·2·|AB|＝·2·2＝2＝. 2x0＋12x0＋11x0＋1 x0＋ x0∵x0∈(0，1)，∴0＜ 21x0＋ x0 ＜1， 故S△PAB∈(0，1). 2.(2016·课标全国丙)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e2)处的切线方程是________. 答案 y＝2x 解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex1＋x， 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝ex1＋x. 因为当x＞0时，f′(x)＝ex1＋1，所以f′(1)＝2， 所以曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 3.(2016·课标全国甲)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________. 答案 1－ln 2 1解析 y＝ln x＋2的切线为：y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)， x11x2 y＝ln(x＋1)的切线为：y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)， x2＋1x2＋1 － － － －x－1 －x，则曲线y＝f(x)在点(1， ?x＝x＋1， ∴?x ln x＋1＝ln?x＋1?－，?x＋1 1 21 2 22 11 ?解得?1 x＝－，?2 2 1x1＝，2 ，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 4.(2015·天津)已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)； a (3)若方程f(x)＝a(a为实数)有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2－x1≤－＋43. 3(1)解 由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3. 当f′(x)＞0，即x＜1时，函数f(x)单调递增； 当f′(x)＜0，即x＞1时，函数f(x)单调递减. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1)， 单调递减区间为(1，＋∞). (2)证明 设点P的坐标为(x0，0)， 则x0＝4，f′(x0)＝－12. 曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)·(x－x0)， 即g(x)＝f′(x0)(x－x0). 令函数F(x)＝f(x)－g(x)， 即F(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)， 则F′(x)＝f′(x)－f′(x0). 由于f′(x)＝－4x3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F′(x)在(－∞，＋∞)上单调递减. 又因为F′(x0)＝0， 所以当x∈(－∞，x0)时，F′(x)＞0； 当x∈(x0，＋∞)时，F′(x)＜0， 所以F(x)在(－∞，x0)上单调递增， 在(x0，＋∞)上单调递减， 所以对于任意的实数x，F(x)≤F(x0)＝0， 即对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x). (3)证明 由(2)知g(x)＝－12?x－43?. 1113?? a 设方程g(x)＝a的根为x2′，可得x2′＝－＋43. 12因为g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′)， 因此x2≤x2′. 1
高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题3 函数与导数 第12练 含答案
