2、求下列极限：
（1）、lim[cosln(1?x)?coslnx] ；（2）、limx???x?01?xsinx?cosx ；
x3x2?52x?ax?sin ；（3）、求lim（4）、已知lim()?9 ，求常数a 。
x??5x?3x??x?ax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续 ，且f(a)?a,f(b)?b ，
证明：在开区间(a,b)内至少存在一点? ，使f(?)?? 。
第一章 函数与极限 习 题 解 析
（A）
一、填空题 （1）(1,2] （2）(?1,??) （3）[2 ，4]
（4）x2k??x?(2k?1)??,k?z? （5）[?2,;x?0 （8）2 （9）1
2]
（6）-3 （7）x?k?,k?z（10）充分 （11）
13 （12）? （13）x=1 , x=2 （14）高阶 22（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2 （20）y=-2 （21）[?2,1]?(1,2] （22）1
二、计算题
1、（1） (??,?1)?(?1,1)?(1,??)
（2） [0,??) （3）(??,0)?(0,??)
2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同
3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数
222sinx] 4、（1）y?(sinx) （2）[y?1?x2] （3）[y?e??5、（1）[ 2 ] （2）[] （3）-9 （4）0 （5）2 （6）? （7）0 （8）?22 （9）
121 26、（1）w （2）
2?12?1
（3）1 （4）e （5）e （6）e 5237、（1）2x?x是x?x的低阶无穷小 （2）是同阶无穷小
2?0,m?n1?8、（1） （2）?1,m?n
2??,m?n?9、不连续
10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）e （5）0 （6）-2 11、a=1
2（B）
1、（1）提示：由0?e?1 解得：x?(??,0]
x （2）提示：由0?lnx?1解得：x?[1,e]
2、提示：分成x?o和x?0两段求。f[f(x)]?f(x) ，g[g(x)]?0 ，
f[g(x)]?0 , g[f(x)]?g(x)
4、（1）提示：1?1?1n?1?1n （2）提示：x(111x?1)?x[x]?x?x （3）提示：用数学归纳法证明：an?2?2?2
5、提示：2x?3x?2x?2x?1x?3x?1x 令2x?1?t（同阶）
6、（1）提示：乘以x2?1?x ；
12 （2）提示：除以2x ；e （3）提示：用等阶无穷小代换 ；
12 1（4）提示： (ax?bx?cx3)x ax?1?bx?1?cx?1?33??????xxx??ax?1?bx?1?cx?1?x?a?1?b?1?c?1??3?1????（3abc）
????????7、提示：lim?0?f(x)?xlim?0?f(x)?f(0) （a?0）
x8、x?1是第二类间断点 ，x?0是第一类间断点
（C）
1、解：因为f???x???e?2(x)?1?x ，故?(x)?ln(1?x) ，再由ln(1?x)?0得：1?x?1 ，即x?0 。所以：?(x)?ln(1?x)，x?0 。
2、解：原式=lim1?xsinx?cos2xx?0x(1?xsinx?cosx)=lim1x?02?xsinx?sin2xx
=1?limsinx2x?0x(x?sinx)=0
3、解：因为当x??时 ，sin2x~2x ， ，
3x2?523x2?526x2?106?sin=lim?=lim则lim=
x??5x?3xx??5x?3xx??5x2?3x5a??1???eax?axx?=?a=e2a 4、解：因为：9=lim()=lim?a?ex???x??x?a?1??x??所以e2ax?9 ，a?ln3
5、证明：令F(x)?f(x)?x ，F(x)在?a,b?上连续 ，且
F(a)?f(a)?a?0 ，F(b)?f(b)?b?0 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开区间(a,b)内至少存在
一点??(a,b) ，使F(?)?0 ，即f(?)?? 。
(完整版)函数极限习题与解析
