§2.1 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.
1.函数的基本概念 (1)函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y
1
与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域
函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则.
2.设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射
f的作用下的象，记作f(x).于是y＝f(x)，x称作y的原象.映射f也可记为：f：A→B，x→f(x).
其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A). 3.函数解析式的求法
求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4.函数的表示法
(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法.
(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.
概念方法微思考
2
请你概括一下求函数定义域的类型．
提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √ )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f(x)＝
4－x的定义域是________． x－1
3
答案 (－∞，1)∪(1,4]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)
112
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝x.
233答案 ③
28
解析 对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝?Q，所以③不是从P到Q的函数．
335．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为______． 答案 2
解析 当x≥0时，f(x)＝x，f(x0)＝4， 即x0＝4，解得x0＝2.
当x<0时，f(x)＝－x，f(x0)＝4， 即－x0＝4，无解，所以x0＝2.
2
2
2
2
?1－x，x≥0，
6．设f(x)＝?x?2，x<0，
1答案
2
则f(f(－2))＝________.
1－2
解析 因为－2<0，所以f(－2)＝2＝>0，
4
4
?1?所以f(f(－2))＝f??＝1－?4?
111＝1－＝. 422
题型一 函数的定义域
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)(2018·江苏)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________． 答案 {x|x≥2}
解析 由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2， 满足x>0，
所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．
122
(2)函数f(x)＝lnx－3x＋2＋－x－3x＋4的定义域为________________．
x答案 [－4,0)∪(0,1)
x≠0，??2
解析 由?x－3x＋2>0，
??－x2－3x＋4≥0，
4,0)∪(0,1)．
解得－4≤x<0或0 (3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数g(x)＝A．[－1,2 019] C．[0,2 020] 答案 B f?x＋1? 的定义域是( ) x－1 B．[－1,1)∪(1,2 019] D．[－1,1)∪(1,2 020] 5
2020版高考数学大一轮复习-2.1函数及其表示教案(文)(含解析)新人教A版
