第二章波函数和薛定谔方程
1、求一维线性谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。21 2.5
2、质量为?的粒子在势场V(x)中做一维束缚运动，两能量本征函数分别为：
?1(x)?Aexp(??x22)，?2(x)?B(x2?bx?c)exp(??x22)，试精确确定b、c的取值，
并求这两个状态之间的能量差。
???3、粒子在如下势场中运动V(x)??22????x2(x?0)(x?0)，求其能级。
??. x?0? 0?x?a中，4、设质量为m的粒子处于一维势阱V?x????V0,式中V0?0。?0, x?a? 若粒子具有一个E??
V04的本征态，试确定此势阱的宽度a。
第三章量子力学中的力学量
1、若一个算符与角动量算符J?的两个分量对易，则必与另一个分量对易。
?和B?是守恒量，证明它们的对易子[A?，B?]也是守恒量。 2、若算符A3、二维谐振子的哈密顿量
H??1?2122222?(Px?P)?m(?1x??2y) y2m21）求出其能级；2）给出基态波函数；3）如果?1??2，试求能级简并度。 4、二维谐振子哈密顿量为 22????? H(2m?x212222?)?m(?xx??yy)22?y?2
讨论：1）当?x??y??时，能量本征值和简并度；2）当?x?能级的本征值和简并度。
1?y??时，最低四个22P?1x???m?2x2，引入无量纲算符Q5、一维谐振子的哈密顿算符为H?2m2?m??x；
1
P??1m?????x；ap11????(Q??iP?)；a(Q?iP?)。
221）计算对易关系[Q?,P?], [a?,a??],[a??,a??a?]； ?,a??a?],[a1??a??)。 2）证明H????(a26、线谐振子在t=0时处于?(x,0)?131?0(x)??1(x)??2(x)态上，其中?n(x)为线性222谐振子第n个能量本征值En对应的本征函数。求：(1) 在Ψ(x,0)态上能量的可能取值、相应
的概率及平均值； (2) 写出t>0时刻的波函数，并求其相应的能量取值几率与平均值。 7、一个质量为?的粒子被限制在一维区域?a?x?a运动，t?0时处于基态。今势阱突然向两边对称地扩展一倍，即可以在?2a?x?2a范围内运动。问：（1）t?t0(?0)时粒子处于新系统中基态的几率；（2）t?t0时粒子能量的平均值。 8、设氢原子处于
?(r,?,?)?12R20(r)Y00(?,?)-11R31(r)Y(?,?)-R31(r)Y101-1(?,?)的状态上，求其22能量、角动量平方L2及角动量z分量Lz的可能取值和相应概率，进而求出它们的平均值。在该状态下，计算能量与角动量平方同时取确定值E3和2?2的概率。
第四章 态和力学量的表象
??P)(??0)归一化，并证明坐标表 1、 在动量表象中，将函数a(P)?Nexp(???13(2?)2?象中对应的函数为?(r)??(r??)222?。
2、 设F?为厄米算符，证明在能量表象中下式成立
?(En?Ek)Fnkn2?1?,[H?,F?]]k k[F23、 已知体系的哈密顿算符H?和力学量算符B?的矩阵形式分别为
2
?10?100?0???????H????0?10?和B?b?001?，其中b和?为实常数。
?00??010??1????1）H?和B?是否是厄米算符？
2）证明H?和B?对易，并求出它们的共同本征函数系和相应的本征值；
?0?1??3）设t?0时体系处于?(0)??1?的状态，此时测量H?和B?，其相应的可能取值和取
2???1?值几率是什么？
4）t?0时体系的状态波函数是什么？若此时再测量B?, 其几率分布会发生变化吗？为什么？
第五章微扰理论
1、设粒子在周期场V(x)?V0cos（bx)中运动，在动量表象中写出其定态薛定
?1c0????谔方程。设哈密顿量的矩阵形式为：H??c30?，
?00c?2???1）设c << 1，应用微扰论求H?本征值到二级近似； 2）求H?的精确本征值；
3）在什么条件下，上面二结果一致。
1???0????和降算符a?表示为H??2、设线谐振子的哈密顿算符用升算符aaa???????，此体系受到2??????a微扰H???a???作用，求体系能量至二级修正。
3、有一粒子，其哈密顿量的矩阵形式为 ，其中
??
，
，求能级的一级近似和波函数的零级近似。
4、两个线性谐振子，它们的质量皆为?，角频率皆为?，加上微扰项W????x1x2（x1，x2分别为两个谐振子的坐标）后，求体系基态能量至二级修正，第二激发态能量至一级修正。
3
（mxn?
1?[n2?m,n?1?n?1?m,n?1]，式中??2???）
第七章自旋与全同粒子
2??jmj1、证明j?2和??j(j?1)?mj(mj?1)j,mj?1，其中jmj是角动量平方算符jz分量算符j?z的共同本征函数。
2、谐振子的哈密顿量可以用无量纲单位(m?????1)写成
??a??12，其中a?)2,a??(x?ip?)2。某个未归一化的能??a??12?N???(x?ipH量本征函数为?n?(2x3?3x)exp(?x2/2)，求能量最接近?n的另外两个非归一化本征函数。
????3、自旋为?/2，固有磁矩???S (γ为实常数)的粒子，处于均匀外磁场B?B0k中，设t=0
时粒子处于Sx= ?/2的状态，求t>0时的波函数。
4、两个自旋为
?的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间无相互作用。若一个粒子2处于sz?
??的状态，而另一个粒子处于sx?状态，求体系处于单态的概率。 22
4
《量子力学教程》作业题
