2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷2）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：
选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A
【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解： 当当当
时，时，时，
； ； ；
，
，则中元素的个数为
所以共有9个，选A.
点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 3. 函数
的图像大致为
1
A. A B. B C. C D. D 【答案】B
【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足
，
，则
为奇函数，舍去A,
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B.
点睛：向量加减乘：
5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
2
A. 【答案】A
B. C. D.
【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
6. 在A.
中， B.
C.
，， D.
，则
【答案】A
【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为所以
，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 7. 为计算
，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入
3
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由
此在空白框中应填入
，选B.
得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
．在不超过30的素数中，随
4
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有
种方法，因为
，选C.
，所以随机选取两个不同的数，
其和等于30的有3种方法，故概率为
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
9. 在长方体余弦值为
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
,所以
,
中，
，
，则异面直线
与
所成角的
因为选C.
，所以异面直线与所成角的余弦值为，
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 10. 若
在
是减函数，则的最大值是
5
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