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考点32 数学归纳法及其应用
一、考纲要求 内容 要求 A 数学归纳法的原理 数学归纳法的简单应用 1、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 2、能运用数学归纳法证明整除问题以及证明不等式与等式问题 3、能运用数学归纳法证明归纳猜想问题 二、近五年江苏高考 年份 考查知识点 2016年 排列与组合以及数学归纳法的证明 2015年 计数原理与数学归纳法的应用 2014年 复合函数的导数以及数学归纳法 √ B √ C 数学归纳法是近几年江苏高考的热点也是难点，通常放在附加题的最后一题，综合考查学生的推理能力，结合最近几年高考可以发现数学归纳法通常与排列组合、计数原理以及复合函数等结合。 三、考点总结
数学归纳法是解决整除问题、不等式问题和等式以及归纳猜想问题的常用的方法，在复习时一定要注意数学归纳法的步骤。特别是注意与排列组合以及计数原理的综合。 四、近五年江苏高考
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1、（2016年江苏卷）. (1) 求7C36－4C7的值；
(2) 设m，n∈N*，n≥m，求证：
mmmmm2
(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cm＋1＋(m＋3)Cm＋2＋…＋nCn－1＋(n＋1)Cn＝(m＋1)Cn＋2.
＋
2、（2015年江苏卷） 已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．
(1) 写出f(6)的值；
(2) 当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
2
1
3、（2014年江苏卷） 已知函数f0(x)＝
π?π?π?(1) 求2f1??2?＋2f2?2?的值；
π?π?π??2
＋f(2) 证明：对任意的n∈N*，等式?nfn－1?＝n
?4?4?4??2都成立． ? 五、三年模拟 题型一、整除问题
1、(2019 南京三模）对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串11010101010中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．
(1) 求f(3)，f(4)的值；
(2) 求证：对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．
2、(2017苏北四市一模）设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2. (1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；
(2) 证明：对任意正整数n，f(n)都是8的倍数．
2
sinx
(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*. x
1
题型二 运用数学归纳法证明等式问题
01
1、(2019南京、盐城一模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1Cn＋a2Cn＋a3C2n＋…
＋an＋1Cn2nn＝(an＋2－1)·
(1) 求a3的值；
－1
成立．
(2) 证明：数列{an}是等差数列．
2、(2018南通、泰州一调） (1) 用数学归纳法证明：当x∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝
?n＋1?x?sin???2??1
－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)； 122sinx2
π2π3π4π2 018π
(2) 求sin＋2sin＋3sin＋4sin＋…＋2 018sin的值．
66666
3、(2017镇江期末）已知函数f1(x)＝x2＋48，对任意正整数n，有fn＋1(x)＝x2＋6fn?x?，求方程fn(x)＝2x的所有解．
πnπ
4、(2017苏锡常镇调研） 设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an＝sintannθ，其前n项和为
22Sn.
n－1n
(1) 求证：当n为偶数时，an＝0；当n为奇数时，an＝(－1)tanθ；
21＋
(2) 求证：对任何正整数n，S2n＝sin2θ·[1＋(－1)n1tan2nθ]．
2
2
1
题型三 运用数学归纳法证明不等式问题
1*
1、(2019苏北三市期末）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝－2a2n＋2an，n∈N. 31
0，?； (1) 用数学归纳法证明：an∈??2?11n＋1
(2) 令bn＝－an，证明：∑ ≥3－3.
2i＝1bi
2、(2017苏锡常镇调研）设实数a1，a2，…，an满足a1＋a2＋…＋an＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|an|≤1(n∈an11
N*且n≥2)，令bn＝(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋bn|≤－(n∈N*)．
n22n
.
题型四 归纳猜想证明问题
n（n＋1）
1、(2019常州期末）是否存在实数a，b，c，使得等式1×3×5＋2×4×6＋…＋n(n＋2)(n＋4)＝
4(an2＋bn＋c)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
2、(2018苏州期末）在正整数集N*上定义函数y＝f(n)，满足f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，且f(1)＝2.
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(1) 求证：f(3)－f(2)＝；
10(2) 是否存在实数a，b，使得f(n)＝
＋1对任意正整数n恒成立，并证明你的结论． n3?a??－2?－b
1
n
2
1
?x＋1?·…·?x＋1?(n≥2且n∈N*)的展开式中含x项的系数为Sn，含3、(2018常州期末） 记(x＋1)·?2??n?x2项的系数为Tn.
(1) 求Sn；
Tn(2) 若＝an2＋bn＋c，对n＝2，3，4成立，求实数a，b，c的值；
Sn(3) 对(2)中的实数a，b，c，用数学归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，Tn＝an2＋bn＋c都成立．
2
Sn
2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)32 数学归纳法及其应用(原卷版)
